# 第 17800 題：無窮級數 [返回所在分頁 89](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/89/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0100) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17800 · q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0100 ## 原題與已知條件 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-term-zero-boundary；資料={"shift":25,"prefix_length":5}。請依 [shift,prefix_length,terms,terms_tend_zero,series_converges,boundary] 欄序回答。 - G001 — 固定index convention的partial-sum sequence與exact tail。操作=series-term-zero-boundary；資料={"shift":25,"prefix_length":5}。請依 [shift,prefix_length,terms,terms_tend_zero,series_converges,boundary] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-infinite-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-infinite-series/) ## 逐步推導 S001 · calculation操作前 harmonic displayed index0 denominator := sum(0, 25) 操作後 harmonic displayed index0 denominator = 25 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 harmonic displayed index0 term := div(1, 25) 操作後 harmonic displayed index0 term = 1/25 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 harmonic displayed index1 denominator := sum(1, 25) 操作後 harmonic displayed index1 denominator = 26 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 harmonic displayed index1 term := div(1, 26) 操作後 harmonic displayed index1 term = 1/26 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 harmonic displayed index2 denominator := sum(2, 25) 操作後 harmonic displayed index2 denominator = 27 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 harmonic displayed index2 term := div(1, 27) 操作後 harmonic displayed index2 term = 1/27 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 harmonic displayed index3 denominator := sum(3, 25) 操作後 harmonic displayed index3 denominator = 28 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 harmonic displayed index3 term := div(1, 28) 操作後 harmonic displayed index3 term = 1/28 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 harmonic displayed index4 denominator := sum(4, 25) 操作後 harmonic displayed index4 denominator = 29 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 harmonic displayed index4 term := div(1, 29) 操作後 harmonic displayed index4 term = 1/29 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 shifted harmonic series:DECLARED whole positive tail b_k=1/(k+25),k>=0;shift>0 操作後 b_k decreases to0:for ANY epsilon>0 choose N with N+shift>1/epsilon,then every k>=N has b_k=0 large enough that2^j>=shift-1,the block m=2^j+1..2^(j+1) has2^j terms each>=1/2^(j+1);each block sum>=1/2;infinitely many disjoint blocks make partial sums unbounded 條件：無 整個尾和只少有限開頭；每個充分晚的dyadic區塊至少1/2，任取多個不交塊總和無界，才證級數發散。項趨零沒有給partial sums的有限極限。 步驟識別與依賴規則：harmonic_shifted_dyadic_blocks_diverge_not_term_limit · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 displayed finite prefix=[1/25, 1/26, 1/27, 1/28, 1/29];SEPARATE complete harmonic-tail proof retained 操作後 terms tend to0=是;series converges=否;terms_tend_to_zero_but_shifted_harmonic_series_diverges 條件：無 有限清單只供顯示，兩個無限命題由明示全尾與區塊論證分別給出；必要的項趨零不充分。 步驟識別與依賴規則：series_term_limit_not_partial_sum_limit · 依賴：G001, S012 ## 逐步反向核對 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index4 term，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index4 denominator，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index3 term，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index3 denominator，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index2 term，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index2 denominator，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index1 term，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index1 denominator，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index0 term，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 harmonic displayed index0 denominator，不以小數近似替代。 ## 結論 (25, 5, [1/25, 1/26, 1/27, 1/28, 1/29], 是, 否, terms_tend_to_zero_but_shifted_harmonic_series_diverges) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 626a3066b1889104249fba4174d6de9f47d97ad3c1ab30e68892a2628dc36686 - candidate record SHA-256: 9cb42ca2aea79b2af11eea9666acf0896b082e858896f878887e038a98981a61 - semantic review receipt SHA-256: f73d099ebe3ff1c69a5d96f08c75b11b9e5b05120af40cf3ef388fce3b5c5336 - question-first witness SHA-256: 22675ffb6209b4fea076032b29b96e3dc19aad4244c54493f5f65f5e5d875699 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261103-r03-infinite-series-0100.json)