# 第 342 題：模反元素 [返回所在分頁 2](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/2/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-0017) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0342 · q-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-0017 ## 原題與已知條件 整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-existence；資料={"a":2,"n":43}。請依 [a,n,gcd,exists,inverse] 欄序回答。 - G001 — 整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-existence；資料={"a":2,"n":43}。請依 [a,n,gcd,exists,inverse] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 整數 a、模數 n≥2；逆元存在恰當 gcd(a,n)=1，代表元正規化到 [0,n)。 - [mko-modular-inverse](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-inverse/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 a=2; n=43≥2 操作後 compute gcd and a Bezout certificate before inversion 條件：無 逆元存在性需要互質；先保留模數條件。 步驟識別與依賴規則：modular_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 divide 2 by 43 操作後 2=0·43+2 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 divide 43 by 2 操作後 43=21·2+1 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 divide 2 by 1 操作後 2=2·1+0 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 a·x := mul(2, -21) 操作後 a·x = -42 條件：無 乘回原本帶符號的 a。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 n·y := mul(43, 1) 操作後 n·y = 43 條件：無 同時保留模數係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Bezout value := sum(-42, 43) 操作後 Bezout value = 1 條件：無 兩項相加應等於最後非零餘數 gcd。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 2·(-21)+43·(1)=1 操作後 inverse representative=22; 2·22≡1 (mod 43) 條件：無 模 n 下模數項消失，a 的係數就是逆元類，再正規化到[0,n)。 步驟識別與依賴規則：reduce_bezout · 依賴：G001, S007 ## 逐步反向核對 - S008 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bezout value，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 n·y，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S003 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S002 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S001 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 ## 結論 (2, 43, 1, 是, 22) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ef545aa9391e194bda9d0f855c5bd892a308739cba362463adc484edeff80aa7 - candidate record SHA-256: 5ae89a2ffd0401e4265b7f42b64740a28dace82b6f488b97aed152b9882ac1e6 - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-0017.json)