# 第 354 題：模反元素 [返回所在分頁 2](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/2/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-foundations/#q-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-0029) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 P1000-0354 · q-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-0029 ## 原題與已知條件 整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-extended-euclid；資料={"a":7,"n":30}。請依 [a,n,gcd,x,y,bezout_value,classification] 欄序回答。 - G001 — 整數a與模數n大於等於2的exact Euclidean arithmetic。操作=modinv-extended-euclid；資料={"a":7,"n":30}。請依 [a,n,gcd,x,y,bezout_value,classification] 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 在 |a| 與 n 上執行擴展歐幾里得並還原 a 的符號；係數只是 Bezout 證書，不唯一。 - [mko-modular-inverse](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-modular-inverse/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 a=7; n=30≥2 操作後 compute gcd and a Bezout certificate before inversion 條件：無 逆元存在性需要互質；先保留模數條件。 步驟識別與依賴規則：modular_domain · 依賴：G001 S002 · implies操作前 divide 7 by 30 操作後 7=0·30+7 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 divide 30 by 7 操作後 30=4·7+2 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 divide 7 by 2 操作後 7=3·2+1 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 divide 2 by 1 操作後 2=2·1+0 條件：無 下一步改用除數與餘數，非零餘數嚴格下降。 步驟識別與依賴規則：euclidean_division · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 a·x := mul(7, 13) 操作後 a·x = 91 條件：無 乘回原本帶符號的 a。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 n·y := mul(30, -3) 操作後 n·y = -90 條件：無 同時保留模數係數。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Bezout value := sum(91, -90) 操作後 Bezout value = 1 條件：無 兩項相加應等於最後非零餘數 gcd。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 7·(13)+30·(-3)=1 操作後 inverse representative=13; 7·13≡1 (mod 30) 條件：無 模 n 下模數項消失，a 的係數就是逆元類，再正規化到[0,n)。 步驟識別與依賴規則：reduce_bezout · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bezout value，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 n·y，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 a·x，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S004 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S003 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S002 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 - S001 · premise_and_result_audit — 核對整數等式、餘數範圍與 gcd 條件，不把同餘當整數相等。 ## 結論 (7, 30, 1, 13, -3, 1, Bezout_equals_one) 上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6d72c6e0e2026d85f9ea18e9c4bce8c3c41e55b9b6bdc681adef65260ca19cdb - candidate record SHA-256: 6287d20e92389ad35934b362e474ea11d4025621e9693fa6238c096e8d5754cd - semantic review receipt SHA-256: 6c2c6d46aded7582a11ac41a8c0b3bdde2669a53bdb6e796eea2039994a02772 - question-first witness SHA-256: 77e43898df9efdbf8094ad81fe4ab91cf4b4bd82f481eb9b4699b73cb4da612b - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261103-r07-modular-inverse-0029.json)