# 第 17969 題：絕對收斂 [返回所在分頁 90](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/90/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-foundations/#q-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-0019) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17969 · q-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-0019 ## 原題與已知條件 partial sums與absolute-series exact convergence certificate。操作=absseries-geometric；資料={"a":[19,20],"r":[-1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — partial sums與absolute-series exact convergence certificate。操作=absseries-geometric；資料={"a":[19,20],"r":[-1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-absolute-convergence-of-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=absseries-geometric;original question snapshot retained;source presentation interface resolved in this page 操作後 EXPLICIT ordered output fields=[a, r, absolute_series_sum, absolutely_convergent, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記，這裡直接列完整欄位，不需瀏覽器JavaScript或外部查表。欄位名只是presentation metadata，不是數學運算；term-zero的第四個否是『條件是否充分』，不是誤標成另一個converges旗標。 步驟識別與依賴規則：absseries_explicit_source_interface_fields_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 absolute geometric series one minus effective ratio := sub(1, 1/2) 操作後 absolute geometric series one minus effective ratio = 1/2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 absolute geometric series exact infinite candidate sum := div(19/20, 1/2) 操作後 absolute geometric series exact infinite candidate sum = 19/10 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 absolute geometric series:original SIGNED a=19/20;SIGNED r=-1/2;absolute ratio=1/2<1;effective terms=(19/20)*(1/2)^k,k=0,1,... 操作後 candidate sum=19/10;effective denominator1-ratio=1/2 is nonzero 條件：無 先保留原a、r的符號，依本題是否求絕對值級數才換有效係數及ratio；|r|<1是這份證書域，不用有限樣本或另種零係數例外改寫題目。 步驟識別與依賴規則：series_geometric_exact_input_roles_and_absolute_ratio_domain · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 absolute geometric series:for ANY N>=1,the first N terms start at k0 with leading=19/20,ratio=1/2 操作後 (1-ratio)*S_N=(19/20)*(1-(1/2)^N);S_N=(19/20)*(1-(1/2)^N)/(1/2);candidate minus S_N=(19/20)*(1/2)^N/(1/2) 條件：無 把有限和乘(1−ratio)，相鄰冪次抵消後只留首尾；這個恆等式對任意N≥1，並不是看幾個partial sums猜公式。 步驟識別與依賴規則：series_geometric_all_N_finite_cancellation_identity · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 absolute geometric series:|effective ratio|=1/2<1;remainder magnitude=abs(19/20)*abs(1/2)^N/abs(1/2) 操作後 geometric power tends to0;remainder tends to0;partial sums converge to the exact candidate 條件：無 嚴格小於1的幾何冪趨零，固定有限係數與非零分母保餘項趨零，因此partial-sum sequence才有此極限。 步驟識別與依賴規則：series_geometric_remainder_limit_not_finite_prefix_inference · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 original signed a=19/20;r=-1/2;for EVERY k>=0,abs(a*r^k)=abs(a)*abs(r)^k;absolute-series sum=19/10 操作後 for every m>n>=1,absolute signed tail<=absolute-series tail=abs(a)*abs(r)^n/(1-abs(r)) tending to0;Cauchy criterion and real completeness give convergence of original series 條件：無 絕對值作用在每一項，得到|a|/(1−|r|)，不是|a/(1−r)|。任意有號尾和由絕對尾和控制至0，Cauchy與實數完備性才給原級數收斂，並非有限prefix外推。 步驟識別與依賴規則：absseries_absolute_convergence_implies_original_via_cauchy_tail · 依賴：G001, S006 ## 逐步反向核對 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 absolute geometric series exact infinite candidate sum，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 absolute geometric series one minus effective ratio，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (19/20, -1/2, 19/10, 是, absolute_geometric_certificate) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e300a62760761911ac66fe27486f0f64a38a5ff600c3c6c23433cef11e1e51b9 - candidate record SHA-256: 0fc4caf15925ee65724ee5f2932a4223b043ff93b71180e01dd4f4f8be3b5549 - semantic review receipt SHA-256: f73d099ebe3ff1c69a5d96f08c75b11b9e5b05120af40cf3ef388fce3b5c5336 - question-first witness SHA-256: 22675ffb6209b4fea076032b29b96e3dc19aad4244c54493f5f65f5e5d875699 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-0019.json)