# 第 17939 題：絕對收斂 [返回所在分頁 90](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/90/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-foundations/#q-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-0039) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0034-17939 · q-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-0039 ## 原題與已知條件 partial sums與absolute-series exact convergence certificate。操作=absseries-conditional-alternating；資料={"shift":14,"n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — partial sums與absolute-series exact convergence certificate。操作=absseries-conditional-alternating；資料={"shift":14,"n":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-absolute-convergence-of-series](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-absolute-convergence-of-series/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=absseries-conditional-alternating;original question snapshot retained;source presentation interface resolved in this page 操作後 EXPLICIT ordered output fields=[shift, n, terms, series_converges, absolutely_converges, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記，這裡直接列完整欄位，不需瀏覽器JavaScript或外部查表。欄位名只是presentation metadata，不是數學運算；term-zero的第四個否是『條件是否充分』，不是誤標成另一個converges旗標。 步驟識別與依賴規則：absseries_explicit_source_interface_fields_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 alternating displayed term0 denominator := sum(0, 14) 操作後 alternating displayed term0 denominator = 14 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 alternating displayed term0 signed value := div(1, 14) 操作後 alternating displayed term0 signed value = 1/14 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 alternating displayed term1 denominator := sum(1, 14) 操作後 alternating displayed term1 denominator = 15 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 alternating displayed term1 signed value := div(-1, 15) 操作後 alternating displayed term1 signed value = -1/15 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 alternating displayed term2 denominator := sum(2, 14) 操作後 alternating displayed term2 denominator = 16 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 alternating displayed term2 signed value := div(1, 16) 操作後 alternating displayed term2 signed value = 1/16 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 alternating displayed term3 denominator := sum(3, 14) 操作後 alternating displayed term3 denominator = 17 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 alternating displayed term3 signed value := div(-1, 17) 操作後 alternating displayed term3 signed value = -1/17 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 alternating displayed term4 denominator := sum(4, 14) 操作後 alternating displayed term4 denominator = 18 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 alternating displayed term4 signed value := div(1, 18) 操作後 alternating displayed term4 signed value = 1/18 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 absolute series of declared alternating tail:DECLARED whole positive tail b_k=1/(k+14),k>=0;shift>0 操作後 b_k decreases to0:for ANY epsilon>0 choose N with N+shift>1/epsilon,then every k>=N has b_k=0 large enough that2^j>=shift-1,the block m=2^j+1..2^(j+1) has2^j terms each>=1/2^(j+1);each block sum>=1/2;infinitely many disjoint blocks make partial sums unbounded 條件：無 整個尾和只少有限開頭；每個充分晚的dyadic區塊至少1/2，任取多個不交塊總和無界，才證級數發散。項趨零沒有給partial sums的有限極限。 步驟識別與依賴規則：harmonic_shifted_dyadic_blocks_diverge_not_term_limit · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 WHOLE declared terms=(-1)^k/(k+14),k starts0 positive;displayed first5 terms=[1/14, -1/15, 1/16, -1/17, 1/18] 操作後 b_k positive decreasing to0;even S_2m increases by b_2m-b_(2m+1)>=0;odd S_(2m+1) decreases;0<=S_2m<=S_(2m+1)<=b_0=1/14;gap b_2m tends0 條件：無 正遞減幅值才給偶partial sums遞增、奇partial sums遞減且互相夾住；實數完備性給兩子列極限，差趨零使極限相同，整個partial-sum sequence收斂。單有交錯或項趨零不足以一般推出。 步驟識別與依賴規則：absseries_alternating_monotone_subsequences_not_alternation_alone · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 alternating displayed exact partial sum := sum(1/14, -1/15, 1/16, -1/17, 1/18) 操作後 alternating displayed exact partial sum = 5483/85680 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 alternating next-term remainder denominator := sum(5, 14) 操作後 alternating next-term remainder denominator = 19 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 alternating next-term absolute remainder bound := div(1, 19) 操作後 alternating next-term absolute remainder bound = 1/19 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 alternating next signed term := mul(-1, 1/19) 操作後 alternating next signed term = -1/19 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 alternating next exact partial sum := sum(5483/85680, -1/19) 操作後 alternating next exact partial sum = 18497/1627920 條件：無 依原始角色及已核中間量精確計算，保留分母、正負號、索引與嚴格條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 displayed S_n=5483/85680;adjacent S_(n+1)=18497/1627920;n=5;positive shift=14 操作後 common limit L lies between these two endpoints;abs(L-S_n)<=1/19;original series converges=是;absolute harmonic series converges=否 條件：無 全尾交錯證書給相鄰partial sums夾住同一極限與下一項餘界；前面的dyadic論證另證絕對值和發散。兩份證書兼具才叫conditional，顯示清單本身不證任何無限結論。 步驟識別與依賴規則：absseries_conditional_requires_convergence_and_absolute_divergence · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating next exact partial sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating next signed term，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating next-term absolute remainder bound，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating next-term remainder denominator，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed exact partial sum，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term4 signed value，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term4 denominator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term3 signed value，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term3 denominator，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term2 signed value，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term2 denominator，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term1 signed value，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term1 denominator，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term0 signed value，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 alternating displayed term0 denominator，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (14, 5, [1/14, -1/15, 1/16, -1/17, 1/18], 是, 否, alternating_remainder_and_harmonic_absolute_divergence) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 6968464f1f69109d8d0400d9022c8938bd6789f38b90cb0a3ad8ba1226ccd0ea - candidate record SHA-256: 0c12a3690faed01c01b392cb8b735d5f26d8655c871ba2a85eec5992d4820e40 - semantic review receipt SHA-256: f73d099ebe3ff1c69a5d96f08c75b11b9e5b05120af40cf3ef388fce3b5c5336 - question-first witness SHA-256: 22675ffb6209b4fea076032b29b96e3dc19aad4244c54493f5f65f5e5d875699 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261104-r03-absolute-convergence-of-series-0039.json)