# 第 18100 題：中國剩餘定理 [返回所在分頁 91](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/91/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261104-r05-chinese-remainder-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261104-r05-chinese-remainder-theorem-0075) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0035-18100 · q-20261014-advance-20261104-r05-chinese-remainder-theorem-0075 ## 原題與已知條件 正moduli、normalized residues與exact integer congruences。操作=crt-uniqueness-mod-product；資料={"moduli":[3,41],"residues":[24,49],"other":213}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 正moduli、normalized residues與exact integer congruences。操作=crt-uniqueness-mod-product；資料={"moduli":[3,41],"residues":[24,49],"other":213}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-chinese-remainder-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chinese-remainder-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=crt-uniqueness-mod-product;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[solution, other, product, same_residue_class, boundary] 條件：無 原題的歷史介面標記保留在快照；本頁直接列原始欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位描述不自動成為數學證據，No標記須依本題的聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 original residue slot0 exact quotient := div(24, 3) 操作後 original residue slot0 exact quotient = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 original residue slot0 floor quotient multiple := mul(8, 3) 操作後 original residue slot0 floor quotient multiple = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 original residue slot0 normalized remainder := sub(24, 24) 操作後 original residue slot0 normalized remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 original residue slot0:integer value=24;positive modulus=3;exact ratio=8;floor quotient=8 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=0 in[0,3) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 original residue slot1 exact quotient := div(49, 41) 操作後 original residue slot1 exact quotient = 49/41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 original residue slot1 floor quotient multiple := mul(1, 41) 操作後 original residue slot1 floor quotient multiple = 41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 original residue slot1 normalized remainder := sub(49, 41) 操作後 original residue slot1 normalized remainder = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 original residue slot1:integer value=49;positive modulus=41;exact ratio=49/41;floor quotient=1 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=8 in[0,41) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 CRT modulus product prefix0 := mul(1, 3) 操作後 CRT modulus product prefix0 = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 LCM prefix0 gcd:positive original gcd inputs=[1, 3] 操作後 Euclidean rows[a,b,q,r] with a=q*b+r=[[1, 3, 0, 1], [3, 1, 3, 0]];positive gcd=1 條件：無 每次餘數替換保同一公因數集，最後非零值才是gcd；逐列列出q與r供來源核對。 步驟識別與依賴規則：crt_pair_gcd_exact_euclidean_witness · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 CRT LCM prefix0 quotient := div(1, 1) 操作後 CRT LCM prefix0 quotient = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 CRT LCM prefix0 value := mul(1, 3) 操作後 CRT LCM prefix0 value = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 CRT modulus product prefix1 := mul(3, 41) 操作後 CRT modulus product prefix1 = 123 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 LCM prefix1 gcd:positive original gcd inputs=[3, 41] 操作後 Euclidean rows[a,b,q,r] with a=q*b+r=[[3, 41, 0, 3], [41, 3, 13, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];positive gcd=1 條件：無 每次餘數替換保同一公因數集，最後非零值才是gcd；逐列列出q與r供來源核對。 步驟識別與依賴規則：crt_pair_gcd_exact_euclidean_witness · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 CRT LCM prefix1 quotient := div(3, 1) 操作後 CRT LCM prefix1 quotient = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 CRT LCM prefix1 value := mul(3, 41) 操作後 CRT LCM prefix1 value = 123 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 original modulus pair0,1:positive original gcd inputs=[3, 41] 操作後 Euclidean rows[a,b,q,r] with a=q*b+r=[[3, 41, 0, 3], [41, 3, 13, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];positive gcd=1 條件：無 每次餘數替換保同一公因數集，最後非零值才是gcd；逐列列出q與r供來源核對。 步驟識別與依賴規則：crt_pair_gcd_exact_euclidean_witness · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 CRT original pair0,1 residue difference := sub(0, 8) 操作後 CRT original pair0,1 residue difference = -8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 CRT original pair0,1 difference divided by gcd := div(-8, 1) 操作後 CRT original pair0,1 difference divided by gcd = -8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 original constraint slots=[0, 1];moduli=[3, 41];gcd=1;normalized residue difference=-8 操作後 difference/gcd=-8;pair coprime=是;pair compatible=是 條件：無 任意共同解會使兩餘數差被gcd整除，所以先核每對；不互質不等於無解，差也可能是gcd倍數。 步驟識別與依賴規則：crt_every_pair_compatibility_not_automatic_inconsistency · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 original aligned moduli=[3, 41];original signed residues=[24, 49];normalized residues=[0, 8];all pair audits=[[0, 1, 1, 是]] 操作後 pairwise coprime=是;gcd compatible=是;product=123;LCM period=123 條件：無 模數與餘數對齊保原順序，不拿semantic排序各自重排。互質主題用product，非互質邊界保lcm；modulus1不增加限制。 步驟識別與依賴規則：crt_original_constraint_order_product_vs_lcm · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 quotient fraction := div(1, 3) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 quotient fraction = 1/3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 divisor multiple := mul(0, 3) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 divisor multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 remainder := sub(1, 0) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 first coefficient multiple := mul(0, 0) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 second coefficient multiple := mul(0, 1) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step0 second coefficient difference := sub(0, 0) 操作後 merge original slot0 Euclidean step0 second coefficient difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 merge original slot0:step=0;current remainders=[1, 3];coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];exact ratio=1/3;floor q=0 操作後 next remainder=1;next signed coefficient pair=[1, 0];a*x+b*y equals next remainder 條件：無 同一q同時更新餘數與兩個有號係數，保每列a·x+b·y=餘數；非只算gcd再猜inverse。 步驟識別與依賴規則：crt_extended_euclid_invariant_signed_coefficients · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 quotient fraction := div(3, 1) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 quotient fraction = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 divisor multiple := mul(3, 1) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 divisor multiple = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 remainder := sub(3, 3) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 first coefficient multiple := mul(3, 1) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 first coefficient multiple = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 first coefficient difference := sub(0, 3) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 first coefficient difference = -3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 second coefficient multiple := mul(3, 0) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 merge original slot0 Euclidean step1 second coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 merge original slot0 Euclidean step1 second coefficient difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 merge original slot0:step=1;current remainders=[3, 1];coefficient pairs=[[0, 1], [1, 0]];exact ratio=3;floor q=3 操作後 next remainder=0;next signed coefficient pair=[-3, 1];a*x+b*y equals next remainder 條件：無 同一q同時更新餘數與兩個有號係數，保每列a·x+b·y=餘數；非只算gcd再猜inverse。 步驟識別與依賴規則：crt_extended_euclid_invariant_signed_coefficients · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 merge original slot0 final first Bezout term := mul(1, 1) 操作後 merge original slot0 final first Bezout term = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 merge original slot0 final second Bezout term := mul(3, 0) 操作後 merge original slot0 final second Bezout term = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 merge original slot0 final Bezout identity := sum(1, 0) 操作後 merge original slot0 final Bezout identity = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 merge slot0 new residue minus old class := sub(0, 0) 操作後 merge slot0 new residue minus old class = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 merge slot0 difference divided by gcd := div(0, 1) 操作後 merge slot0 difference divided by gcd = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 merge slot0 reduced old modulus := div(1, 1) 操作後 merge slot0 reduced old modulus = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 merge slot0 reduced new modulus := div(3, 1) 操作後 merge slot0 reduced new modulus = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 merge slot0 new LCM period := mul(1, 3) 操作後 merge slot0 new LCM period = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 merge slot0 reduced-unit inverse exact quotient := div(1, 3) 操作後 merge slot0 reduced-unit inverse exact quotient = 1/3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 merge slot0 reduced-unit inverse floor quotient multiple := mul(0, 3) 操作後 merge slot0 reduced-unit inverse floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 merge slot0 reduced-unit inverse normalized remainder := sub(1, 0) 操作後 merge slot0 reduced-unit inverse normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 merge slot0 reduced-unit inverse:integer value=1;positive modulus=3;exact ratio=1/3;floor quotient=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=1 in[0,3) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 merge slot0 parameter congruence product := mul(0, 1) 操作後 merge slot0 parameter congruence product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 merge slot0 normalized parameter exact quotient := div(0, 3) 操作後 merge slot0 normalized parameter exact quotient = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 merge slot0 normalized parameter floor quotient multiple := mul(0, 3) 操作後 merge slot0 normalized parameter floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 merge slot0 normalized parameter normalized remainder := sub(0, 0) 操作後 merge slot0 normalized parameter normalized remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 merge slot0 normalized parameter:integer value=0;positive modulus=3;exact ratio=0;floor quotient=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=0 in[0,3) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 merge slot0 old modulus times parameter := mul(1, 0) 操作後 merge slot0 old modulus times parameter = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 merge slot0 unnormalized common solution := sum(0, 0) 操作後 merge slot0 unnormalized common solution = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 merge slot0 least class representative exact quotient := div(0, 3) 操作後 merge slot0 least class representative exact quotient = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 merge slot0 least class representative floor quotient multiple := mul(0, 3) 操作後 merge slot0 least class representative floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 merge slot0 least class representative normalized remainder := sub(0, 0) 操作後 merge slot0 least class representative normalized remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 merge slot0 least class representative:integer value=0;positive modulus=3;exact ratio=0;floor quotient=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=0 in[0,3) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 old FULL solution class=0 mod1;new original constraint=0 mod3;gcd=1;Bezout coefficients=[1, 0];reduced coprime moduli=[1, 3] 操作後 write old x=a+M*t;reduced equation gives t=0 mod3;ALL merged solutions x=0 mod3 條件：無 代回舊解類後除gcd，Bézout除g給互質係數，t恰落在一個模m/g的類。乘回M得到lcm週期；這包含所有解，不僅驗算找到一點。 步驟識別與依賴規則：crt_constructive_merge_all_solutions_not_one_witness · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 quotient fraction := div(3, 41) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 quotient fraction = 3/41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 divisor multiple := mul(0, 41) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 divisor multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 remainder := sub(3, 0) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 remainder = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 first coefficient multiple := mul(0, 0) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 second coefficient multiple := mul(0, 1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step0 second coefficient difference := sub(0, 0) 操作後 merge original slot1 Euclidean step0 second coefficient difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 merge original slot1:step=0;current remainders=[3, 41];coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];exact ratio=3/41;floor q=0 操作後 next remainder=3;next signed coefficient pair=[1, 0];a*x+b*y equals next remainder 條件：無 同一q同時更新餘數與兩個有號係數，保每列a·x+b·y=餘數；非只算gcd再猜inverse。 步驟識別與依賴規則：crt_extended_euclid_invariant_signed_coefficients · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 quotient fraction := div(41, 3) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 quotient fraction = 41/3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 divisor multiple := mul(13, 3) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 divisor multiple = 39 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 remainder := sub(41, 39) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 remainder = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 first coefficient multiple := mul(13, 1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 first coefficient multiple = 13 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 first coefficient difference := sub(0, 13) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 first coefficient difference = -13 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 second coefficient multiple := mul(13, 0) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step1 second coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 merge original slot1 Euclidean step1 second coefficient difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 merge original slot1:step=1;current remainders=[41, 3];coefficient pairs=[[0, 1], [1, 0]];exact ratio=41/3;floor q=13 操作後 next remainder=2;next signed coefficient pair=[-13, 1];a*x+b*y equals next remainder 條件：無 同一q同時更新餘數與兩個有號係數，保每列a·x+b·y=餘數；非只算gcd再猜inverse。 步驟識別與依賴規則：crt_extended_euclid_invariant_signed_coefficients · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 quotient fraction := div(3, 2) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 quotient fraction = 3/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 divisor multiple := mul(1, 2) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 divisor multiple = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 remainder := sub(3, 2) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 first coefficient multiple := mul(1, -13) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 first coefficient multiple = -13 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 first coefficient difference := sub(1, -13) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 first coefficient difference = 14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 second coefficient multiple := mul(1, 1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 second coefficient multiple = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step2 second coefficient difference := sub(0, 1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step2 second coefficient difference = -1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 merge original slot1:step=2;current remainders=[3, 2];coefficient pairs=[[1, 0], [-13, 1]];exact ratio=3/2;floor q=1 操作後 next remainder=1;next signed coefficient pair=[14, -1];a*x+b*y equals next remainder 條件：無 同一q同時更新餘數與兩個有號係數，保每列a·x+b·y=餘數；非只算gcd再猜inverse。 步驟識別與依賴規則：crt_extended_euclid_invariant_signed_coefficients · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 quotient fraction := div(2, 1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 quotient fraction = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 divisor multiple := mul(2, 1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 divisor multiple = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 remainder := sub(2, 2) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 first coefficient multiple := mul(2, 14) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 first coefficient multiple = 28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 first coefficient difference := sub(-13, 28) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 first coefficient difference = -41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 second coefficient multiple := mul(2, -1) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 second coefficient multiple = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · calculation操作前 merge original slot1 Euclidean step3 second coefficient difference := sub(1, -2) 操作後 merge original slot1 Euclidean step3 second coefficient difference = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 merge original slot1:step=3;current remainders=[2, 1];coefficient pairs=[[-13, 1], [14, -1]];exact ratio=2;floor q=2 操作後 next remainder=0;next signed coefficient pair=[-41, 3];a*x+b*y equals next remainder 條件：無 同一q同時更新餘數與兩個有號係數，保每列a·x+b·y=餘數；非只算gcd再猜inverse。 步驟識別與依賴規則：crt_extended_euclid_invariant_signed_coefficients · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 merge original slot1 final first Bezout term := mul(3, 14) 操作後 merge original slot1 final first Bezout term = 42 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 merge original slot1 final second Bezout term := mul(41, -1) 操作後 merge original slot1 final second Bezout term = -41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 merge original slot1 final Bezout identity := sum(42, -41) 操作後 merge original slot1 final Bezout identity = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 merge slot1 new residue minus old class := sub(8, 0) 操作後 merge slot1 new residue minus old class = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 merge slot1 difference divided by gcd := div(8, 1) 操作後 merge slot1 difference divided by gcd = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 merge slot1 reduced old modulus := div(3, 1) 操作後 merge slot1 reduced old modulus = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 merge slot1 reduced new modulus := div(41, 1) 操作後 merge slot1 reduced new modulus = 41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 merge slot1 new LCM period := mul(3, 41) 操作後 merge slot1 new LCM period = 123 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · calculation操作前 merge slot1 reduced-unit inverse exact quotient := div(14, 41) 操作後 merge slot1 reduced-unit inverse exact quotient = 14/41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 merge slot1 reduced-unit inverse floor quotient multiple := mul(0, 41) 操作後 merge slot1 reduced-unit inverse floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 merge slot1 reduced-unit inverse normalized remainder := sub(14, 0) 操作後 merge slot1 reduced-unit inverse normalized remainder = 14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · implies操作前 merge slot1 reduced-unit inverse:integer value=14;positive modulus=41;exact ratio=14/41;floor quotient=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=14 in[0,41) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 merge slot1 parameter congruence product := mul(8, 14) 操作後 merge slot1 parameter congruence product = 112 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 merge slot1 normalized parameter exact quotient := div(112, 41) 操作後 merge slot1 normalized parameter exact quotient = 112/41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 merge slot1 normalized parameter floor quotient multiple := mul(2, 41) 操作後 merge slot1 normalized parameter floor quotient multiple = 82 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 merge slot1 normalized parameter normalized remainder := sub(112, 82) 操作後 merge slot1 normalized parameter normalized remainder = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · implies操作前 merge slot1 normalized parameter:integer value=112;positive modulus=41;exact ratio=112/41;floor quotient=2 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=30 in[0,41) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 merge slot1 old modulus times parameter := mul(3, 30) 操作後 merge slot1 old modulus times parameter = 90 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · calculation操作前 merge slot1 unnormalized common solution := sum(0, 90) 操作後 merge slot1 unnormalized common solution = 90 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 merge slot1 least class representative exact quotient := div(90, 123) 操作後 merge slot1 least class representative exact quotient = 30/41 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 merge slot1 least class representative floor quotient multiple := mul(0, 123) 操作後 merge slot1 least class representative floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 merge slot1 least class representative normalized remainder := sub(90, 0) 操作後 merge slot1 least class representative normalized remainder = 90 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · implies操作前 merge slot1 least class representative:integer value=90;positive modulus=123;exact ratio=30/41;floor quotient=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=90 in[0,123) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 old FULL solution class=0 mod3;new original constraint=8 mod41;gcd=1;Bezout coefficients=[14, -1];reduced coprime moduli=[3, 41] 操作後 write old x=a+M*t;reduced equation gives t=30 mod41;ALL merged solutions x=90 mod123 條件：無 代回舊解類後除gcd，Bézout除g給互質係數，t恰落在一個模m/g的類。乘回M得到lcm週期；這包含所有解，不僅驗算找到一點。 步驟識別與依賴規則：crt_constructive_merge_all_solutions_not_one_witness · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 CRT comparison integer minus least solution := sub(213, 90) 操作後 CRT comparison integer minus least solution = 123 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 CRT comparison solution-class test exact quotient := div(123, 123) 操作後 CRT comparison solution-class test exact quotient = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 CRT comparison solution-class test floor quotient multiple := mul(1, 123) 操作後 CRT comparison solution-class test floor quotient multiple = 123 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 CRT comparison solution-class test normalized remainder := sub(123, 123) 操作後 CRT comparison solution-class test normalized remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確計算，保留索引、分母、正負號及所屬載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · implies操作前 CRT comparison solution-class test:integer value=123;positive modulus=123;exact ratio=1;floor quotient=1 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized residue=0 in[0,123) 條件：無 對正模數用向下整數商，負原值也得到0到modulus−1的代表；不是截斷向0或改變同餘類。模1是合法平凡約束，餘數為0。 步驟識別與依賴規則：crt_exact_floor_modulo_signed_input · 依賴：G001, S122 S124 · implies操作前 least solution=90;arbitrary comparison integer=213;product period=123;difference=123 操作後 same residue class=是;unique_modulo_product_not_unique_integer 條件：無 other不保證本來就是解；False只說它不在這個解類，不反駁CRT唯一性。真正兩解的差是product倍數，整數代表則無限多。 步驟識別與依賴規則：crt_arbitrary_other_not_presumed_solution · 依賴：G001, S123 ## 逐步反向核對 - S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT comparison solution-class test normalized remainder，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT comparison solution-class test floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT comparison solution-class test exact quotient，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT comparison integer minus least solution，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S117 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 least class representative normalized remainder，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 least class representative floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 least class representative exact quotient，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 unnormalized common solution，不以小數近似替代。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 old modulus times parameter，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 normalized parameter normalized remainder，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 normalized parameter floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 normalized parameter exact quotient，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 parameter congruence product，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 reduced-unit inverse normalized remainder，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 reduced-unit inverse floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 reduced-unit inverse exact quotient，不以小數近似替代。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 new LCM period，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 reduced new modulus，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 reduced old modulus，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 difference divided by gcd，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot1 new residue minus old class，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 final Bezout identity，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 final second Bezout term，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 final first Bezout term，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 remainder，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step3 quotient fraction，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 remainder，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step2 quotient fraction，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 remainder，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step1 quotient fraction，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 remainder，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot1 Euclidean step0 quotient fraction，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 least class representative normalized remainder，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 least class representative floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 least class representative exact quotient，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 unnormalized common solution，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 old modulus times parameter，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 normalized parameter normalized remainder，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 normalized parameter floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 normalized parameter exact quotient，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 parameter congruence product，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 reduced-unit inverse normalized remainder，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 reduced-unit inverse floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 reduced-unit inverse exact quotient，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 new LCM period，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 reduced new modulus，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 reduced old modulus，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 difference divided by gcd，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge slot0 new residue minus old class，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 final Bezout identity，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 final second Bezout term，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 final first Bezout term，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 remainder，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step1 quotient fraction，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 remainder，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 merge original slot0 Euclidean step0 quotient fraction，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT original pair0,1 difference divided by gcd，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT original pair0,1 residue difference，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT LCM prefix1 value，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT LCM prefix1 quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT modulus product prefix1，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT LCM prefix0 value，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT LCM prefix0 quotient，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 CRT modulus product prefix0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original residue slot1 normalized remainder，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original residue slot1 floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original residue slot1 exact quotient，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original residue slot0 normalized remainder，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original residue slot0 floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 original residue slot0 exact quotient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (90, 213, 123, 是, unique_modulo_product_not_unique_integer) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 9795487288bedc5f4dc1842053382d8edbb1810e0e5e6cb5f3dfecf2f417a6a1 - candidate record SHA-256: 4f2ddae528fef6b7d4201e2f6b34b68a5aa5b32dfdab5fc6f45856332bd498ab - semantic review receipt SHA-256: 713db6309b22bf8b31f0253d4aaa7aca9011ab908587ae0e9d4a365edce1f9bc - question-first witness SHA-256: 0338a3db344ab237113fc63be29153c3684da96e388109e9dcd913a0a693aed2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261104-r05-chinese-remainder-theorem-0075.json)