# 第 18666 題：子空間直和 [返回所在分頁 94](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/94/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-0016) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18666 · q-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-0016 ## 原題與已知條件 有限維實向量空間、完整基底與exact rank證書。操作=directsum-internal-audit；資料={"ambient_dimension":3,"basis_u":[[1,0,0]],"basis_w":[[0,1,16]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維實向量空間、完整基底與exact rank證書。操作=directsum-internal-audit；資料={"ambient_dimension":3,"basis_u":[[1,0,0]],"basis_w":[[0,1,16]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-direct-sum](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-direct-sum/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=directsum-internal-audit;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[dimension_u, dimension_w, dimension_sum, dimension_intersection, unique_in_sum, covers_ambient, ambient_direct_sum] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 directsum U:complete ordered matrix=[[1], [0], [0]];rows=3;columns=1 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 directsum U pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum U pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 directsum U:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1] 操作後 normalized full row=[1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 directsum U:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];pivot columns=[0] 操作後 rank=1;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 directsum U:complete ORIGINAL independent columns=[[1, 0, 0]] 操作後 declared subspace dimension=1;basis of its full real span;empty basis means zero subspace 條件：無 原資料宣告完整basis，精確rank再核獨立，故數量才是此子空間維度；允許空basis代表零子空間，不把有限列表當子空間所有元素。 步驟識別與依賴規則：directsum_declared_basis_complete_real_span · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 directsum W:complete ordered matrix=[[0], [1], [16]];rows=3;columns=1 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 directsum W:matrix=[[0], [1], [16]];selected row=1 操作後 swap rows0,1;matrix=[[1], [0], [16]] 條件：無 整列交換可逆，原欄與其係數標籤不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_row_swap · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 directsum W pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum W pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 directsum W:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1] 操作後 normalized full row=[1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 directsum W eliminate row2 pivot0 entry0 product := mul(16, 1) 操作後 directsum W eliminate row2 pivot0 entry0 product = 16 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 directsum W eliminate row2 pivot0 entry0 difference := sub(16, 16) 操作後 directsum W eliminate row2 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 directsum W:target row=2;old=[16];factor=16;pivot row=[1] 操作後 new full row=[0] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 directsum W:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];pivot columns=[0] 操作後 rank=1;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 directsum W:complete ORIGINAL independent columns=[[0, 1, 16]] 操作後 declared subspace dimension=1;basis of its full real span;empty basis means zero subspace 條件：無 原資料宣告完整basis，精確rank再核獨立，故數量才是此子空間維度；允許空basis代表零子空間，不把有限列表當子空間所有元素。 步驟識別與依賴規則：directsum_declared_basis_complete_real_span · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 directsum ordered U then W:complete ordered matrix=[[1, 0], [0, 1], [0, 16]];rows=3;columns=2 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 directsum ordered U then W pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum ordered U then W pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 directsum ordered U then W pivot0 column0 normalized entry1 := div(0, 1) 操作後 directsum ordered U then W pivot0 column0 normalized entry1 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 directsum ordered U then W:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 0] 操作後 normalized full row=[1, 0] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 directsum ordered U then W pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 directsum ordered U then W pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 directsum ordered U then W pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 directsum ordered U then W pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 directsum ordered U then W:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=1;old row=[0, 1] 操作後 normalized full row=[0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry0 product := mul(16, 0) 操作後 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry0 difference := sub(0, 0) 操作後 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry0 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry1 product := mul(16, 1) 操作後 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry1 product = 16 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry1 difference := sub(16, 16) 操作後 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 directsum ordered U then W:target row=2;old=[0, 16];factor=16;pivot row=[0, 1] 操作後 new full row=[0, 0] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 directsum ordered U then W:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1], [0, 0]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 directsum U plus W:pivot columns=[0, 1];ALL free columns=[];full relation family=[] 操作後 EVERY zero combination is uniquely determined by its free coordinates;these free-coordinate unit relations form the full kernel;dimension=0 條件：無 可逆列運算保原矩陣核，任意零組合的自由座標就是此族的組合係數，主元方程定其餘座標；反向代回皆零。自由座標identity亦證獨立，故不只列幾個樣本關係。 步驟識別與依賴規則：directsum_full_relation_space_both_directions · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 directsum U and W basis count sum := sum(1, 1) 操作後 directsum U and W basis count sum = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 directsum actual intersection dimension := sub(2, 2) 操作後 directsum actual intersection dimension = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 ORIGINAL U basis=[[1, 0, 0]];W basis=[[0, 1, 16]];combined rank=2;full zero-combination relations=[];common vectors=[] 操作後 kernel of sum map consists of(u,-u) for u in U intersection W;intersection dimension=0;unique decomposition INSIDE U+W=是;coverage of R^3=否 條件：無 和映射滿射U+W，核與U∩W經v↦(v,−v)互逆線性對應；完整核basis因此給交集維度。分解差在此核，所以交集0才是和內唯一。只有再加rank=ambient dimension才是整個母空間直和，不能由一個target碰巧重建成功外推。 步驟識別與依賴規則：directsum_unique_in_sum_and_ambient_coverage_separate · 依賴：G001, S031 ## 逐步反向核對 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum actual intersection dimension，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum U and W basis count sum，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W eliminate row2 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ordered U then W pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum W eliminate row2 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum W eliminate row2 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum W pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum U pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, 1, 2, 0, 是, 否, 否) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2837cba6027040c45412fb325ec93a779d7b7ceee2d18fd546c857e9b853c613 - candidate record SHA-256: 2332eae2467d57db614322f72f54dd218d836a8639e1145e9e57038a97220d9c - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-0016.json)