# 第 18685 題：子空間直和 [返回所在分頁 94](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/94/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-0060) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18685 · q-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-0060 ## 原題與已知條件 有限維實向量空間、完整基底與exact rank證書。操作=directsum-multi-subspace-global；資料={"ambient_dimension":2,"subspace_bases":[[[1,0]],[[0,1]],[[1,10]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維實向量空間、完整基底與exact rank證書。操作=directsum-multi-subspace-global；資料={"ambient_dimension":2,"subspace_bases":[[[1,0]],[[0,1]],[[1,10]]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-direct-sum](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-direct-sum/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=directsum-multi-subspace-global;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[pairwise_zero_intersections, total_basis_count, total_rank, global_direct_sum, covers_ambient, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 directsum subspace0:complete ordered matrix=[[1], [0]];rows=2;columns=1 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 directsum subspace0 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum subspace0 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 directsum subspace0:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1] 操作後 normalized full row=[1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 directsum subspace0:complete exact reduced matrix=[[1], [0]];pivot columns=[0] 操作後 rank=1;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 directsum subspace0:complete ORIGINAL independent columns=[[1, 0]] 操作後 declared subspace dimension=1;basis of its full real span;empty basis means zero subspace 條件：無 原資料宣告完整basis，精確rank再核獨立，故數量才是此子空間維度；允許空basis代表零子空間，不把有限列表當子空間所有元素。 步驟識別與依賴規則：directsum_declared_basis_complete_real_span · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 directsum subspace1:complete ordered matrix=[[0], [1]];rows=2;columns=1 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 directsum subspace1:matrix=[[0], [1]];selected row=1 操作後 swap rows0,1;matrix=[[1], [0]] 條件：無 整列交換可逆，原欄與其係數標籤不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_row_swap · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 directsum subspace1 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum subspace1 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 directsum subspace1:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1] 操作後 normalized full row=[1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 directsum subspace1:complete exact reduced matrix=[[1], [0]];pivot columns=[0] 操作後 rank=1;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 directsum subspace1:complete ORIGINAL independent columns=[[0, 1]] 操作後 declared subspace dimension=1;basis of its full real span;empty basis means zero subspace 條件：無 原資料宣告完整basis，精確rank再核獨立，故數量才是此子空間維度；允許空basis代表零子空間，不把有限列表當子空間所有元素。 步驟識別與依賴規則：directsum_declared_basis_complete_real_span · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 directsum subspace2:complete ordered matrix=[[1], [10]];rows=2;columns=1 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 directsum subspace2 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum subspace2 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 directsum subspace2:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1] 操作後 normalized full row=[1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 directsum subspace2 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(10, 1) 操作後 directsum subspace2 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 directsum subspace2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(10, 10) 操作後 directsum subspace2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 directsum subspace2:target row=1;old=[10];factor=10;pivot row=[1] 操作後 new full row=[0] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 directsum subspace2:complete exact reduced matrix=[[1], [0]];pivot columns=[0] 操作後 rank=1;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 directsum subspace2:complete ORIGINAL independent columns=[[1, 10]] 操作後 declared subspace dimension=1;basis of its full real span;empty basis means zero subspace 條件：無 原資料宣告完整basis，精確rank再核獨立，故數量才是此子空間維度；允許空basis代表零子空間，不把有限列表當子空間所有元素。 步驟識別與依賴規則：directsum_declared_basis_complete_real_span · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 directsum pair0,1:complete ordered matrix=[[1, 0], [0, 1]];rows=2;columns=2 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 directsum pair0,1 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum pair0,1 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 directsum pair0,1 pivot0 column0 normalized entry1 := div(0, 1) 操作後 directsum pair0,1 pivot0 column0 normalized entry1 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 directsum pair0,1:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 0] 操作後 normalized full row=[1, 0] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 directsum pair0,1 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 directsum pair0,1 pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 directsum pair0,1 pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 directsum pair0,1 pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 directsum pair0,1:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=1;old row=[0, 1] 操作後 normalized full row=[0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 directsum pair0,1:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 directsum pair0,1 basis counts := sum(1, 1) 操作後 directsum pair0,1 basis counts = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 directsum pair0,1 intersection dimension := sub(2, 2) 操作後 directsum pair0,1 intersection dimension = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 pair original subspaces=[0, 1];individual independent basis counts=[1, 1];combined rank=2 操作後 dim intersection=0;pair intersection zero=是 條件：無 映射(u,w)到u+w滿射到和空間，核是(v,−v)的交集副本，所以兩項維度公式成立。這個兩項結果不能直接升格三項以上全域直和。 步驟識別與依賴規則：directsum_pair_intersection_rank_nullity_not_global_directness · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 directsum pair0,2:complete ordered matrix=[[1, 1], [0, 10]];rows=2;columns=2 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 directsum pair0,2 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum pair0,2 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 directsum pair0,2 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 directsum pair0,2 pivot0 column0 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 directsum pair0,2:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 1] 操作後 normalized full row=[1, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 directsum pair0,2 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 10) 操作後 directsum pair0,2 pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 directsum pair0,2 pivot1 column1 normalized entry1 := div(10, 10) 操作後 directsum pair0,2 pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 directsum pair0,2:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=10;old row=[0, 10] 操作後 normalized full row=[0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0) 操作後 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1) 操作後 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1) 操作後 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 directsum pair0,2:target row=0;old=[1, 1];factor=1;pivot row=[0, 1] 操作後 new full row=[1, 0] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 directsum pair0,2:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 directsum pair0,2 basis counts := sum(1, 1) 操作後 directsum pair0,2 basis counts = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 directsum pair0,2 intersection dimension := sub(2, 2) 操作後 directsum pair0,2 intersection dimension = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 pair original subspaces=[0, 2];individual independent basis counts=[1, 1];combined rank=2 操作後 dim intersection=0;pair intersection zero=是 條件：無 映射(u,w)到u+w滿射到和空間，核是(v,−v)的交集副本，所以兩項維度公式成立。這個兩項結果不能直接升格三項以上全域直和。 步驟識別與依賴規則：directsum_pair_intersection_rank_nullity_not_global_directness · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 directsum pair1,2:complete ordered matrix=[[0, 1], [1, 10]];rows=2;columns=2 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 directsum pair1,2:matrix=[[0, 1], [1, 10]];selected row=1 操作後 swap rows0,1;matrix=[[1, 10], [0, 1]] 條件：無 整列交換可逆，原欄與其係數標籤不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_row_swap · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 directsum pair1,2 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum pair1,2 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 directsum pair1,2 pivot0 column0 normalized entry1 := div(10, 1) 操作後 directsum pair1,2 pivot0 column0 normalized entry1 = 10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 directsum pair1,2:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 10] 操作後 normalized full row=[1, 10] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 directsum pair1,2 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 directsum pair1,2 pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 directsum pair1,2 pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 directsum pair1,2 pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 directsum pair1,2:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=1;old row=[0, 1] 操作後 normalized full row=[0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(10, 0) 操作後 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(10, 1) 操作後 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(10, 10) 操作後 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 directsum pair1,2:target row=0;old=[1, 10];factor=10;pivot row=[0, 1] 操作後 new full row=[1, 0] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 directsum pair1,2:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 directsum pair1,2 basis counts := sum(1, 1) 操作後 directsum pair1,2 basis counts = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 directsum pair1,2 intersection dimension := sub(2, 2) 操作後 directsum pair1,2 intersection dimension = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 pair original subspaces=[1, 2];individual independent basis counts=[1, 1];combined rank=2 操作後 dim intersection=0;pair intersection zero=是 條件：無 映射(u,w)到u+w滿射到和空間，核是(v,−v)的交集副本，所以兩項維度公式成立。這個兩項結果不能直接升格三項以上全域直和。 步驟識別與依賴規則：directsum_pair_intersection_rank_nullity_not_global_directness · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 directsum ALL subspace columns:complete ordered matrix=[[1, 0, 1], [0, 1, 10]];rows=2;columns=3 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry1 := div(0, 1) 操作後 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry1 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry2 := div(1, 1) 操作後 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry2 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 directsum ALL subspace columns:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 0, 1] 操作後 normalized full row=[1, 0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry2 := div(10, 1) 操作後 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry2 = 10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 directsum ALL subspace columns:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=1;old row=[0, 1, 10] 操作後 normalized full row=[0, 1, 10] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 directsum ALL subspace columns:complete exact reduced matrix=[[1, 0, 1], [0, 1, 10]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 directsum ALL subspaces free2 pivot0 relation coefficient := mul(-1, 1) 操作後 directsum ALL subspaces free2 pivot0 relation coefficient = -1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 directsum ALL subspaces free2 pivot1 relation coefficient := mul(-1, 10) 操作後 directsum ALL subspaces free2 pivot1 relation coefficient = -10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate0 product := mul(1, -1) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate0 product = -1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate1 product := mul(0, -10) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate2 product := mul(1, 1) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate2 product = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 complete sum := sum(-1, 0, 1) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 complete sum = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate0 product := mul(0, -1) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate1 product := mul(1, -10) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate1 product = -10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate2 product := mul(10, 1) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate2 product = 10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 complete sum := sum(0, -10, 10) 操作後 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 complete sum = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 directsum ALL subspaces:free column=2;original ordered columns=[[1, 0], [0, 1], [1, 10]];exact relation coefficients=[-1, -10, 1] 操作後 nonzero coefficient at free position;full original combination=[0, 0] 條件：無 自由座標設1後解所有主元座標，並對原欄完整代回。關係是原實向量空間的非零係數關係，不是列簡化後換了一組基向量。 步驟識別與依賴規則：directsum_actual_global_relation_not_pairwise_guess · 依賴：G001, S084 S086 · implies操作前 directsum ALL subspaces:pivot columns=[0, 1];ALL free columns=[2];full relation family=[[-1, -10, 1]] 操作後 EVERY zero combination is uniquely determined by its free coordinates;these free-coordinate unit relations form the full kernel;dimension=1 條件：無 可逆列運算保原矩陣核，任意零組合的自由座標就是此族的組合係數，主元方程定其餘座標；反向代回皆零。自由座標identity亦證獨立，故不只列幾個樣本關係。 步驟識別與依賴規則：directsum_full_relation_space_both_directions · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 directsum total ordered basis count := sum(1, 1, 1) 操作後 directsum total ordered basis count = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 ALL pair intersection dimensions=[[0, 1, 0], [0, 2, 0], [1, 2, 0]];pairwise zero=是;GLOBAL original ordered basis count=3;global rank=2;full relations=[[-1, -10, 1]] 操作後 global directness=否 from injectivity of the FULL sum map;ambient coverage=是 separately;pairwise_zero_not_sufficient_for_three_or_more 條件：無 全域直和要任意全部分量和為0時每個分量都0。每個子空間內basis獨立，故這等價合併全部欄獨立，而非僅每對交集為0。另一方面，rank等ambient dimension才給覆蓋；兩項flag不混同。 步驟識別與依賴規則：directsum_threeplus_global_kernel_not_pairwise_test · 依賴：G001, S087 ## 逐步反向核對 - S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum total ordered basis count，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate2 product，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate2 product，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces relation free2 original coordinate0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces free2 pivot1 relation coefficient，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspaces free2 pivot0 relation coefficient，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspace columns pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum ALL subspace columns pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 intersection dimension，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 basis counts，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair1,2 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 intersection dimension，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 basis counts，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,2 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,1 intersection dimension，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,1 basis counts，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,1 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,1 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,1 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum pair0,1 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum subspace2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum subspace2 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum subspace2 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum subspace1 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 directsum subspace0 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (是, 3, 2, 否, 是, pairwise_zero_not_sufficient_for_three_or_more) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d4aa50fd02fc3e1901f231a8e6dc308407fd5ddfabcaf4f3e8f1dc92ec49be02 - candidate record SHA-256: 40979ba0cb1a1aaf74803d11bdc09ddf1b8bfcaaf1dc17022dd06c3abe215862 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r01-direct-sum-0060.json)