# 第 18746 題：對偶向量空間 [返回所在分頁 94](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/94/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0046) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18746 · q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0046 ## 原題與已知條件 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-dual-basis-certificate；資料={"basis":[[1,0],[21,1]],"candidate_dual":[[1,-21],[0,1]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-dual-basis-certificate；資料={"basis":[[1,0],[21,1]],"candidate_dual":[[1,-21],[0,1]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-dual-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-dual-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=dual-dual-basis-certificate;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[pairing_matrix, is_dual_basis, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 dual original ordered basis:complete ordered matrix=[[1, 21], [0, 1]];rows=2;columns=2 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 dual original ordered basis pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 dual original ordered basis pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 dual original ordered basis pivot0 column0 normalized entry1 := div(21, 1) 操作後 dual original ordered basis pivot0 column0 normalized entry1 = 21 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 dual original ordered basis:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 21] 操作後 normalized full row=[1, 21] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 dual original ordered basis pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 dual original ordered basis pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 dual original ordered basis pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 dual original ordered basis pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 dual original ordered basis:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=1;old row=[0, 1] 操作後 normalized full row=[0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(21, 0) 操作後 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(21, 1) 操作後 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry1 product = 21 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(21, 21) 操作後 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 dual original ordered basis:target row=0;old=[1, 21];factor=21;pivot row=[0, 1] 操作後 new full row=[1, 0] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 dual original ordered basis:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 dual original ordered basis:complete ORIGINAL independent columns=[[1, 0], [21, 1]] 操作後 declared subspace dimension=2;basis of its full real span;empty basis means zero subspace 條件：無 原資料宣告完整basis，精確rank再核獨立，故數量才是此子空間維度；允許空basis代表零子空間，不把有限列表當子空間所有元素。 步驟識別與依賴規則：directsum_declared_basis_complete_real_span · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 dual candidate row0 basis column0 coordinate0 product := mul(1, 1) 操作後 dual candidate row0 basis column0 coordinate0 product = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 dual candidate row0 basis column0 coordinate1 product := mul(-21, 0) 操作後 dual candidate row0 basis column0 coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 dual candidate row0 basis column0 complete sum := sum(1, 0) 操作後 dual candidate row0 basis column0 complete sum = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 dual candidate row0 basis column1 coordinate0 product := mul(1, 21) 操作後 dual candidate row0 basis column1 coordinate0 product = 21 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 dual candidate row0 basis column1 coordinate1 product := mul(-21, 1) 操作後 dual candidate row0 basis column1 coordinate1 product = -21 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 dual candidate row0 basis column1 complete sum := sum(21, -21) 操作後 dual candidate row0 basis column1 complete sum = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 dual candidate row1 basis column0 coordinate0 product := mul(0, 1) 操作後 dual candidate row1 basis column0 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 dual candidate row1 basis column0 coordinate1 product := mul(1, 0) 操作後 dual candidate row1 basis column0 coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 dual candidate row1 basis column0 complete sum := sum(0, 0) 操作後 dual candidate row1 basis column0 complete sum = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 dual candidate row1 basis column1 coordinate0 product := mul(0, 21) 操作後 dual candidate row1 basis column1 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 dual candidate row1 basis column1 coordinate1 product := mul(1, 1) 操作後 dual candidate row1 basis column1 coordinate1 product = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 dual candidate row1 basis column1 complete sum := sum(0, 1) 操作後 dual candidate row1 basis column1 complete sum = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL basis columns=[[1, 0], [21, 1]];candidate functional ROWS=[[1, -21], [0, 1]];ALL phi_i(v_j)=[[1, 0], [0, 1]] 操作後 complete Kronecker delta identity=[[1, 0], [0, 1]];candidate is dual basis=是;not just sampled pairings 條件：無 原basis完整且獨立；若全部配對為delta，任意v的basis展開讓第i個泛函取其第i座標，故完整dual basis。反之dual basis必滿足每一配對。False只否決此候選，不否認真正dual basis存在；零維空族的identity為空矩陣。 步驟識別與依賴規則：dual_all_pairings_not_primal_identification_or_nonexistence · 依賴：G001, S027 ## 逐步反向核對 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row1 basis column1 complete sum，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row1 basis column1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row1 basis column1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row1 basis column0 complete sum，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row1 basis column0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row1 basis column0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row0 basis column1 complete sum，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row0 basis column1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row0 basis column1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row0 basis column0 complete sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row0 basis column0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual candidate row0 basis column0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual original ordered basis pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 0], [0, 1]], 是, phi_i_v_j_equals_Kronecker_delta) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: cd6df459ed9cd8e27af8ee9bda66473f3e7b9240d6f59d27771e153116c0e664 - candidate record SHA-256: d2d7dbe1d4c91e68a609bc1d1049a1a809df87091fa794dbcd7f44b834ebf345 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0046.json)