# 第 18797 題：對偶向量空間 [返回所在分頁 94](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/94/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0072) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18797 · q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0072 ## 原題與已知條件 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-linearity-certificate；資料={"coefficients":[22,-2],"u":[1,23],"v":[24,-1],"alpha":22,"beta":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-linearity-certificate；資料={"coefficients":[22,-2],"u":[1,23],"v":[24,-1],"alpha":22,"beta":-2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-dual-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-dual-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=dual-linearity-certificate;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[left, right, equal, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 fixed original covector ROW=[22, -2];coordinate dimension=2 操作後 define phi(x)=sum_j row[j]*x[j] for EVERY real coordinate vector x;finite distributivity gives phi(alpha*u+beta*v)=alpha*phi(u)+beta*phi(v) 條件：無 固定row每個實座標的有限加乘分配律，對任意u,v,alpha,beta同時成立，才給全稱線性證書。後續代值只是核本題數值，不是用一個成功例子證未知函數線性。row表示實值函數，不是primal向量本身。 步驟識別與依賴規則：dual_row_symbolic_universal_linearity_not_one_numeric_test · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 dual linear combination coordinate0 alpha u := mul(22, 1) 操作後 dual linear combination coordinate0 alpha u = 22 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 dual linear combination coordinate0 beta v := mul(-2, 24) 操作後 dual linear combination coordinate0 beta v = -48 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 dual linear combination coordinate0 sum := sum(22, -48) 操作後 dual linear combination coordinate0 sum = -26 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 dual linear combination coordinate1 alpha u := mul(22, 23) 操作後 dual linear combination coordinate1 alpha u = 506 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 dual linear combination coordinate1 beta v := mul(-2, -1) 操作後 dual linear combination coordinate1 beta v = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 dual linear combination coordinate1 sum := sum(506, 2) 操作後 dual linear combination coordinate1 sum = 508 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 dual linearity left evaluation coordinate0 product := mul(22, -26) 操作後 dual linearity left evaluation coordinate0 product = -572 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 dual linearity left evaluation coordinate1 product := mul(-2, 508) 操作後 dual linearity left evaluation coordinate1 product = -1016 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 dual linearity left evaluation complete sum := sum(-572, -1016) 操作後 dual linearity left evaluation complete sum = -1588 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 dual linearity phi u coordinate0 product := mul(22, 1) 操作後 dual linearity phi u coordinate0 product = 22 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 dual linearity phi u coordinate1 product := mul(-2, 23) 操作後 dual linearity phi u coordinate1 product = -46 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 dual linearity phi u complete sum := sum(22, -46) 操作後 dual linearity phi u complete sum = -24 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 dual linearity phi v coordinate0 product := mul(22, 24) 操作後 dual linearity phi v coordinate0 product = 528 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 dual linearity phi v coordinate1 product := mul(-2, -1) 操作後 dual linearity phi v coordinate1 product = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 dual linearity phi v complete sum := sum(528, 2) 操作後 dual linearity phi v complete sum = 530 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 dual linearity alpha times phi u := mul(22, -24) 操作後 dual linearity alpha times phi u = -528 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 dual linearity beta times phi v := mul(-2, 530) 操作後 dual linearity beta times phi v = -1060 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 dual linearity right complete sum := sum(-528, -1060) 操作後 dual linearity right complete sum = -1588 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity right complete sum，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity beta times phi v，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity alpha times phi u，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity phi v complete sum，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity phi v coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity phi v coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity phi u complete sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity phi u coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity phi u coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity left evaluation complete sum，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity left evaluation coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linearity left evaluation coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linear combination coordinate1 sum，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linear combination coordinate1 beta v，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linear combination coordinate1 alpha u，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linear combination coordinate0 sum，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linear combination coordinate0 beta v，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual linear combination coordinate0 alpha u，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-1588, -1588, 是, row_covector_gives_universal_linearity_certificate) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 444c718e777f3cef4d291057311504e84ab91eade4fba6e21512a4c901304341 - candidate record SHA-256: 2a5df8b41f17360b40ffaef497df7113ca68699a86f01c58d305c9f21da85804 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0072.json)