# 第 18718 題：對偶向量空間 [返回所在分頁 94](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/94/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0093) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18718 · q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0093 ## 原題與已知條件 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-coordinate-change-boundary；資料={"change_of_basis":[[1,18],[0,1]],"primal_coordinates":[19,3],"covector_coordinates":[2,18]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維R^n中的線性泛函與明示基底座標。操作=dual-coordinate-change-boundary；資料={"change_of_basis":[[1,18],[0,1]],"primal_coordinates":[19,3],"covector_coordinates":[2,18]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-dual-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-dual-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=dual-coordinate-change-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[new_primal_coordinates, new_covector_coordinates, coordinate_law, canonical_identification_claim, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 dual change augmented P with identity:complete ordered matrix=[[1, 18, 1, 0], [0, 1, 0, 1]];rows=2;columns=4 操作後 use exact invertible ROW operations only;original COLUMN roles/order stay fixed 條件：無 基向量放欄且保原順序；semantic用的排序不能拿來重排係數或候選泛函。列運算是左乘可逆映射，保核、欄相依及rank，不宣稱實際欄空間字面不變。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_source_matrix_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry1 := div(18, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry1 = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry2 := div(1, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry2 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry3 := div(0, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry3 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 dual change augmented P with identity:pivot row=0;column=0;nonzero pivot=1;old row=[1, 18, 1, 0] 操作後 normalized full row=[1, 18, 1, 0] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry2 := div(0, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry2 = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry3 := div(1, 1) 操作後 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry3 = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 dual change augmented P with identity:pivot row=1;column=1;nonzero pivot=1;old row=[0, 1, 0, 1] 操作後 normalized full row=[0, 1, 0, 1] 條件：無 整列每格同除非零pivot，精確有理數保零值與符號。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_nonzero_pivot_complete_row_scaling · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(18, 0) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(18, 1) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry1 product = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(18, 18) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry2 product := mul(18, 0) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry2 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry2 difference := sub(1, 0) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry2 difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry3 product := mul(18, 1) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry3 product = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry3 difference := sub(0, 18) 操作後 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry3 difference = -18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 dual change augmented P with identity:target row=0;old=[1, 18, 1, 0];factor=18;pivot row=[0, 1, 0, 1] 操作後 new full row=[1, 0, 1, -18] 條件：無 同一列的所有格都減同一倍pivot列；反向加回即逆運算。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_invertible_all_entry_elimination · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 dual change augmented P with identity:complete exact reduced matrix=[[1, 0, 1, -18], [0, 1, 0, 1]];pivot columns=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot columns independent and all original column relations preserved;zero rows retained 條件：無 主元欄有不同的首1座標而獨立，其餘欄由主元列座標生成；可逆列運算把依賴關係帶回原矩陣。零列不刪除，不從有限向量測試猜rank。 步驟識別與依賴規則：finite_linear_complete_rank_certificate_not_samples · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 dual P times inverse row0 column0 coordinate0 product := mul(1, 1) 操作後 dual P times inverse row0 column0 coordinate0 product = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 dual P times inverse row0 column0 coordinate1 product := mul(18, 0) 操作後 dual P times inverse row0 column0 coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 dual P times inverse row0 column0 complete sum := sum(1, 0) 操作後 dual P times inverse row0 column0 complete sum = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 dual P times inverse row0 column1 coordinate0 product := mul(1, -18) 操作後 dual P times inverse row0 column1 coordinate0 product = -18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 dual P times inverse row0 column1 coordinate1 product := mul(18, 1) 操作後 dual P times inverse row0 column1 coordinate1 product = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 dual P times inverse row0 column1 complete sum := sum(-18, 18) 操作後 dual P times inverse row0 column1 complete sum = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 dual P times inverse row1 column0 coordinate0 product := mul(0, 1) 操作後 dual P times inverse row1 column0 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 dual P times inverse row1 column0 coordinate1 product := mul(1, 0) 操作後 dual P times inverse row1 column0 coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 dual P times inverse row1 column0 complete sum := sum(0, 0) 操作後 dual P times inverse row1 column0 complete sum = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 dual P times inverse row1 column1 coordinate0 product := mul(0, -18) 操作後 dual P times inverse row1 column1 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 dual P times inverse row1 column1 coordinate1 product := mul(1, 1) 操作後 dual P times inverse row1 column1 coordinate1 product = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 dual P times inverse row1 column1 complete sum := sum(0, 1) 操作後 dual P times inverse row1 column1 complete sum = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 original P=[[1, 18], [0, 1]];exact row reduction [P|I] to [I|inverse];inverse=[[1, -18], [0, 1]] 操作後 complete P*inverse=identity;given old_primal=P*new_primal therefore new_primal=inverse*old_primal 條件：無 對整個增廣矩陣做同一可逆列運算，左半為I才接受P可逆，並逐格核P乘inverse。依來源old=P·new的方向解new，不反套P。 步驟識別與依賴規則：dual_invertible_change_not_same_primal_covector_law · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 dual new primal coordinate0 coordinate0 product := mul(1, 19) 操作後 dual new primal coordinate0 coordinate0 product = 19 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 dual new primal coordinate0 coordinate1 product := mul(-18, 3) 操作後 dual new primal coordinate0 coordinate1 product = -54 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 dual new primal coordinate0 complete sum := sum(19, -54) 操作後 dual new primal coordinate0 complete sum = -35 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 dual new primal coordinate1 coordinate0 product := mul(0, 19) 操作後 dual new primal coordinate1 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 dual new primal coordinate1 coordinate1 product := mul(1, 3) 操作後 dual new primal coordinate1 coordinate1 product = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 dual new primal coordinate1 complete sum := sum(0, 3) 操作後 dual new primal coordinate1 complete sum = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 dual new covector coordinate0 coordinate0 product := mul(2, 1) 操作後 dual new covector coordinate0 coordinate0 product = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 dual new covector coordinate0 coordinate1 product := mul(18, 0) 操作後 dual new covector coordinate0 coordinate1 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 dual new covector coordinate0 complete sum := sum(2, 0) 操作後 dual new covector coordinate0 complete sum = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 dual new covector coordinate1 coordinate0 product := mul(2, 18) 操作後 dual new covector coordinate1 coordinate0 product = 36 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 dual new covector coordinate1 coordinate1 product := mul(18, 1) 操作後 dual new covector coordinate1 coordinate1 product = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 dual new covector coordinate1 complete sum := sum(36, 18) 操作後 dual new covector coordinate1 complete sum = 54 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 dual recover old primal coordinate0 coordinate0 product := mul(1, -35) 操作後 dual recover old primal coordinate0 coordinate0 product = -35 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 dual recover old primal coordinate0 coordinate1 product := mul(18, 3) 操作後 dual recover old primal coordinate0 coordinate1 product = 54 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 dual recover old primal coordinate0 complete sum := sum(-35, 54) 操作後 dual recover old primal coordinate0 complete sum = 19 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 dual recover old primal coordinate1 coordinate0 product := mul(0, -35) 操作後 dual recover old primal coordinate1 coordinate0 product = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 dual recover old primal coordinate1 coordinate1 product := mul(1, 3) 操作後 dual recover old primal coordinate1 coordinate1 product = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 dual recover old primal coordinate1 complete sum := sum(0, 3) 操作後 dual recover old primal coordinate1 complete sum = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 dual old covector primal pairing coordinate0 product := mul(2, 19) 操作後 dual old covector primal pairing coordinate0 product = 38 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 dual old covector primal pairing coordinate1 product := mul(18, 3) 操作後 dual old covector primal pairing coordinate1 product = 54 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 dual old covector primal pairing complete sum := sum(38, 54) 操作後 dual old covector primal pairing complete sum = 92 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 dual new covector primal pairing coordinate0 product := mul(2, -35) 操作後 dual new covector primal pairing coordinate0 product = -70 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 dual new covector primal pairing coordinate1 product := mul(54, 3) 操作後 dual new covector primal pairing coordinate1 product = 162 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 dual new covector primal pairing complete sum := sum(-70, 162) 操作後 dual new covector primal pairing complete sum = 92 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 original old primal=[19, 3];old covector ROW=[2, 18];given old_primal=P*new_primal 操作後 new primal=[-35, 3];new covector=old_covector*P=[2, 54];pairing preserved=92=92;canonical identification CLAIM=否 條件：無 因對每個new vector都需c_old·P·new=(c_old P)·new，所以covector在右乘P，與primal乘inverse方向相反。No只保留無額外結構不作典範識別，不否定另選basis或inner product可建同構；這也不宣稱無限維連續對偶。 步驟識別與依賴規則：dual_contragredient_pairing_preserved_no_canonical_identification · 依賴：G001, S059 ## 逐步反向核對 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector primal pairing complete sum，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector primal pairing coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector primal pairing coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual old covector primal pairing complete sum，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual old covector primal pairing coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual old covector primal pairing coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual recover old primal coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual recover old primal coordinate1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual recover old primal coordinate1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual recover old primal coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual recover old primal coordinate0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual recover old primal coordinate0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector coordinate1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector coordinate1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector coordinate0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new covector coordinate0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new primal coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new primal coordinate1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new primal coordinate1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new primal coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new primal coordinate0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual new primal coordinate0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row1 column1 complete sum，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row1 column1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row1 column1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row1 column0 complete sum，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row1 column0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row1 column0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row0 column1 complete sum，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row0 column1 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row0 column1 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row0 column0 complete sum，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row0 column0 coordinate1 product，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual P times inverse row0 column0 coordinate0 product，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry3 difference，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry3 product，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry2 difference，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry2 product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry3，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry3，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 dual change augmented P with identity pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-35, 3], [2, 54], contragredient_coordinate_laws, 否, no_canonical_V_to_dual_identification_without_extra_structure) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f29781e383d2f07d2d78907d705b7f25d85c2c93ef96a82b1390916ec1c37d01 - candidate record SHA-256: d95425f17c580e9461e2c5137ff0cf533f99827270f63f181a202c2197ac7915 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r02-dual-vector-space-0093.json)