# 第 18866 題：Euclidean演算法 [返回所在分頁 95](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/95/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0041) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18866 · q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0041 ## 原題與已知條件 exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1555,"b":112}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-gcd-invariant；資料={"a":1555,"b":112}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-algorithm](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=euclid-gcd-invariant;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[gcd_pairs, gcd, invariant, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original signed inputs a=1555,b=112 操作後 initial nonnegative chain values=[1555, 112];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input 條件：無 公因數的整除不受符號改變影響；gcd取非負。一般chain/invariant要求b非零，零邊界另保留(0,0)約定，不擅自套該限制。 步驟識別與依賴規則：euclid_signed_inputs_absolute_chain_scope · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euclid step0 exact ratio := div(1555, 112) 操作後 Euclid step0 exact ratio = 1555/112 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euclid step0 quotient times divisor := mul(13, 112) 操作後 Euclid step0 quotient times divisor = 1456 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Euclid step0 remainder := sub(1555, 1456) 操作後 Euclid step0 remainder = 99 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 step=0;left=1555;positive right=112;exact ratio=1555/112;floor quotient=13 操作後 left=right*q+r with r=99 in[0,112);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Euclid step1 exact ratio := div(112, 99) 操作後 Euclid step1 exact ratio = 112/99 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 99) 操作後 Euclid step1 quotient times divisor = 99 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Euclid step1 remainder := sub(112, 99) 操作後 Euclid step1 remainder = 13 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 step=1;left=112;positive right=99;exact ratio=112/99;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=13 in[0,99);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Euclid step2 exact ratio := div(99, 13) 操作後 Euclid step2 exact ratio = 99/13 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Euclid step2 quotient times divisor := mul(7, 13) 操作後 Euclid step2 quotient times divisor = 91 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Euclid step2 remainder := sub(99, 91) 操作後 Euclid step2 remainder = 8 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 step=2;left=99;positive right=13;exact ratio=99/13;floor quotient=7 操作後 left=right*q+r with r=8 in[0,13);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Euclid step3 exact ratio := div(13, 8) 操作後 Euclid step3 exact ratio = 13/8 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 8) 操作後 Euclid step3 quotient times divisor = 8 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Euclid step3 remainder := sub(13, 8) 操作後 Euclid step3 remainder = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 step=3;left=13;positive right=8;exact ratio=13/8;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=5 in[0,8);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Euclid step4 exact ratio := div(8, 5) 操作後 Euclid step4 exact ratio = 8/5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 5) 操作後 Euclid step4 quotient times divisor = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Euclid step4 remainder := sub(8, 5) 操作後 Euclid step4 remainder = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 step=4;left=8;positive right=5;exact ratio=8/5;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=3 in[0,5);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Euclid step5 exact ratio := div(5, 3) 操作後 Euclid step5 exact ratio = 5/3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Euclid step5 quotient times divisor := mul(1, 3) 操作後 Euclid step5 quotient times divisor = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Euclid step5 remainder := sub(5, 3) 操作後 Euclid step5 remainder = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 step=5;left=5;positive right=3;exact ratio=5/3;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=2 in[0,3);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Euclid step6 exact ratio := div(3, 2) 操作後 Euclid step6 exact ratio = 3/2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Euclid step6 quotient times divisor := mul(1, 2) 操作後 Euclid step6 quotient times divisor = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Euclid step6 remainder := sub(3, 2) 操作後 Euclid step6 remainder = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 step=6;left=3;positive right=2;exact ratio=3/2;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=1 in[0,2);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Euclid step7 exact ratio := div(2, 1) 操作後 Euclid step7 exact ratio = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Euclid step7 quotient times divisor := mul(2, 1) 操作後 Euclid step7 quotient times divisor = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Euclid step7 remainder := sub(2, 2) 操作後 Euclid step7 remainder = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 step=7;left=2;positive right=1;exact ratio=2;floor quotient=2 操作後 left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 complete division rows=[[1555, 112, 13, 99], [112, 99, 1, 13], [99, 13, 7, 8], [13, 8, 1, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal pair=[1, 0] 操作後 gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention 條件：無 終止時所有共同因數等於terminal left的因數，非負最大公因數就是left；(0,0)的0另由明示約定給出。不新增除以零的虛假一列。 步驟識別與依賴規則：euclid_terminal_gcd_not_extra_zero_division · 依賴：G001, S034 ## 逐步反向核對 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 remainder，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step7 exact ratio，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([[1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1]], 1, 是, gcd_invariant_separate_from_termination) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2cf747431a3f6b939958b2c81a13ff09ca37a2c5ceb7f2d25247619ee1a12fb6 - candidate record SHA-256: b1e03db14dec053347b9b37aa8cbc1ef279ffd2cff34b604a1b0636687b6a42d - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0041.json)