# 第 18815 題：Euclidean演算法 [返回所在分頁 95](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/95/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0065) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18815 · q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0065 ## 原題與已知條件 exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":723,"b":117}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":723,"b":117}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-algorithm](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=euclid-bezout-certificate;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[gcd, x, y, linear_combination, equal, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original signed inputs a=723,b=117 操作後 initial nonnegative chain values=[723, 117];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input 條件：無 公因數的整除不受符號改變影響；gcd取非負。一般chain/invariant要求b非零，零邊界另保留(0,0)約定，不擅自套該限制。 步驟識別與依賴規則：euclid_signed_inputs_absolute_chain_scope · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euclid step0 exact ratio := div(723, 117) 操作後 Euclid step0 exact ratio = 241/39 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euclid step0 quotient times divisor := mul(6, 117) 操作後 Euclid step0 quotient times divisor = 702 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Euclid step0 remainder := sub(723, 702) 操作後 Euclid step0 remainder = 21 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 step=0;left=723;positive right=117;exact ratio=241/39;floor quotient=6 操作後 left=right*q+r with r=21 in[0,117);gcd pair=[3, 3] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient multiple := mul(6, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient multiple := mul(6, 1) 操作後 Euclid step0 second coefficient multiple = 6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 6) 操作後 Euclid step0 second coefficient difference = -6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=6 操作後 next remainder coefficient pair=[1, -6];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=21 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Euclid step1 exact ratio := div(117, 21) 操作後 Euclid step1 exact ratio = 39/7 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Euclid step1 quotient times divisor := mul(5, 21) 操作後 Euclid step1 quotient times divisor = 105 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Euclid step1 remainder := sub(117, 105) 操作後 Euclid step1 remainder = 12 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 step=1;left=117;positive right=21;exact ratio=39/7;floor quotient=5 操作後 left=right*q+r with r=12 in[0,21);gcd pair=[3, 3] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Euclid step1 first coefficient multiple := mul(5, 1) 操作後 Euclid step1 first coefficient multiple = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Euclid step1 first coefficient difference := sub(0, 5) 操作後 Euclid step1 first coefficient difference = -5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Euclid step1 second coefficient multiple := mul(5, -6) 操作後 Euclid step1 second coefficient multiple = -30 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Euclid step1 second coefficient difference := sub(1, -30) 操作後 Euclid step1 second coefficient difference = 31 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 step=1;two original-absolute-input coefficient pairs=[[0, 1], [1, -6]];same quotient=5 操作後 next remainder coefficient pair=[-5, 31];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=12 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Euclid step2 exact ratio := div(21, 12) 操作後 Euclid step2 exact ratio = 7/4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Euclid step2 quotient times divisor := mul(1, 12) 操作後 Euclid step2 quotient times divisor = 12 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Euclid step2 remainder := sub(21, 12) 操作後 Euclid step2 remainder = 9 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 step=2;left=21;positive right=12;exact ratio=7/4;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=9 in[0,12);gcd pair=[3, 3] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Euclid step2 first coefficient multiple := mul(1, -5) 操作後 Euclid step2 first coefficient multiple = -5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Euclid step2 first coefficient difference := sub(1, -5) 操作後 Euclid step2 first coefficient difference = 6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Euclid step2 second coefficient multiple := mul(1, 31) 操作後 Euclid step2 second coefficient multiple = 31 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Euclid step2 second coefficient difference := sub(-6, 31) 操作後 Euclid step2 second coefficient difference = -37 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 step=2;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, -6], [-5, 31]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[6, -37];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=9 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Euclid step3 exact ratio := div(12, 9) 操作後 Euclid step3 exact ratio = 4/3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 9) 操作後 Euclid step3 quotient times divisor = 9 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Euclid step3 remainder := sub(12, 9) 操作後 Euclid step3 remainder = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 step=3;left=12;positive right=9;exact ratio=4/3;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=3 in[0,9);gcd pair=[3, 3] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Euclid step3 first coefficient multiple := mul(1, 6) 操作後 Euclid step3 first coefficient multiple = 6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Euclid step3 first coefficient difference := sub(-5, 6) 操作後 Euclid step3 first coefficient difference = -11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euclid step3 second coefficient multiple := mul(1, -37) 操作後 Euclid step3 second coefficient multiple = -37 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Euclid step3 second coefficient difference := sub(31, -37) 操作後 Euclid step3 second coefficient difference = 68 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 step=3;two original-absolute-input coefficient pairs=[[-5, 31], [6, -37]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[-11, 68];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=3 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Euclid step4 exact ratio := div(9, 3) 操作後 Euclid step4 exact ratio = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euclid step4 quotient times divisor := mul(3, 3) 操作後 Euclid step4 quotient times divisor = 9 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euclid step4 remainder := sub(9, 9) 操作後 Euclid step4 remainder = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 step=4;left=9;positive right=3;exact ratio=3;floor quotient=3 操作後 left=right*q+r with r=0 in[0,3);gcd pair=[3, 3] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Euclid step4 first coefficient multiple := mul(3, -11) 操作後 Euclid step4 first coefficient multiple = -33 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Euclid step4 first coefficient difference := sub(6, -33) 操作後 Euclid step4 first coefficient difference = 39 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Euclid step4 second coefficient multiple := mul(3, 68) 操作後 Euclid step4 second coefficient multiple = 204 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euclid step4 second coefficient difference := sub(-37, 204) 操作後 Euclid step4 second coefficient difference = -241 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 step=4;two original-absolute-input coefficient pairs=[[6, -37], [-11, 68]];same quotient=3 操作後 next remainder coefficient pair=[39, -241];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 complete division rows=[[723, 117, 6, 21], [117, 21, 5, 12], [21, 12, 1, 9], [12, 9, 1, 3], [9, 3, 3, 0]];terminal pair=[3, 0] 操作後 gcd(a,b)=gcd(3,0)=3;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention 條件：無 終止時所有共同因數等於terminal left的因數，非負最大公因數就是left；(0,0)的0另由明示約定給出。不新增除以零的虛假一列。 步驟識別與依賴規則：euclid_terminal_gcd_not_extra_zero_division · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Euclid restore original a sign in coefficient := mul(1, -11) 操作後 Euclid restore original a sign in coefficient = -11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 68) 操作後 Euclid restore original b sign in coefficient = 68 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(723, -11) 操作後 Euclid ORIGINAL signed a times x = -7953 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(117, 68) 操作後 Euclid ORIGINAL signed b times y = 7956 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Euclid final signed Bezout linear combination := sum(-7953, 7956) 操作後 Euclid final signed Bezout linear combination = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 original a=723,b=117;deterministic absolute-chain coefficients=[-11, 68] 操作後 sign-restored source coefficients x=-11,y=68;a*x+b*y=3=nonnegative gcd 條件：無 來源要求這條extended chain的確定係數，雖然其他Bézout係數也可能正確，仍不能替換來源答案。零符號保+1；(0,0)給原係數(1,0)及0=0，不聲稱唯一。 步驟識別與依賴規則：euclid_deterministic_signed_bezout_not_just_any_coefficients · 依賴：G001, S053 ## 逐步反向核對 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (3, -11, 68, 3, 是, extended_euclidean_back_substitution) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 84d1f0d99b51b6edd5a766047ad02c71ed8f50ff9546d28780ec34ecb80f0d52 - candidate record SHA-256: bdd4948de13949e0468aead567dcb3dbcf0db6ac08b719eb8e125900c097afe6 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0065.json)