# 第 18816 題：Euclidean演算法 [返回所在分頁 95](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/95/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18816 · q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0066 ## 原題與已知條件 exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":-746,"b":119}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":-746,"b":119}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-algorithm](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=euclid-bezout-certificate;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[gcd, x, y, linear_combination, equal, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original signed inputs a=-746,b=119 操作後 initial nonnegative chain values=[746, 119];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input 條件：無 公因數的整除不受符號改變影響；gcd取非負。一般chain/invariant要求b非零，零邊界另保留(0,0)約定，不擅自套該限制。 步驟識別與依賴規則：euclid_signed_inputs_absolute_chain_scope · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euclid step0 exact ratio := div(746, 119) 操作後 Euclid step0 exact ratio = 746/119 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euclid step0 quotient times divisor := mul(6, 119) 操作後 Euclid step0 quotient times divisor = 714 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Euclid step0 remainder := sub(746, 714) 操作後 Euclid step0 remainder = 32 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 step=0;left=746;positive right=119;exact ratio=746/119;floor quotient=6 操作後 left=right*q+r with r=32 in[0,119);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient multiple := mul(6, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient multiple := mul(6, 1) 操作後 Euclid step0 second coefficient multiple = 6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 6) 操作後 Euclid step0 second coefficient difference = -6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=6 操作後 next remainder coefficient pair=[1, -6];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=32 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Euclid step1 exact ratio := div(119, 32) 操作後 Euclid step1 exact ratio = 119/32 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Euclid step1 quotient times divisor := mul(3, 32) 操作後 Euclid step1 quotient times divisor = 96 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Euclid step1 remainder := sub(119, 96) 操作後 Euclid step1 remainder = 23 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 step=1;left=119;positive right=32;exact ratio=119/32;floor quotient=3 操作後 left=right*q+r with r=23 in[0,32);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Euclid step1 first coefficient multiple := mul(3, 1) 操作後 Euclid step1 first coefficient multiple = 3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Euclid step1 first coefficient difference := sub(0, 3) 操作後 Euclid step1 first coefficient difference = -3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Euclid step1 second coefficient multiple := mul(3, -6) 操作後 Euclid step1 second coefficient multiple = -18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Euclid step1 second coefficient difference := sub(1, -18) 操作後 Euclid step1 second coefficient difference = 19 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 step=1;two original-absolute-input coefficient pairs=[[0, 1], [1, -6]];same quotient=3 操作後 next remainder coefficient pair=[-3, 19];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=23 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Euclid step2 exact ratio := div(32, 23) 操作後 Euclid step2 exact ratio = 32/23 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Euclid step2 quotient times divisor := mul(1, 23) 操作後 Euclid step2 quotient times divisor = 23 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Euclid step2 remainder := sub(32, 23) 操作後 Euclid step2 remainder = 9 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 step=2;left=32;positive right=23;exact ratio=32/23;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=9 in[0,23);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Euclid step2 first coefficient multiple := mul(1, -3) 操作後 Euclid step2 first coefficient multiple = -3 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Euclid step2 first coefficient difference := sub(1, -3) 操作後 Euclid step2 first coefficient difference = 4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Euclid step2 second coefficient multiple := mul(1, 19) 操作後 Euclid step2 second coefficient multiple = 19 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Euclid step2 second coefficient difference := sub(-6, 19) 操作後 Euclid step2 second coefficient difference = -25 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 step=2;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, -6], [-3, 19]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[4, -25];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=9 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Euclid step3 exact ratio := div(23, 9) 操作後 Euclid step3 exact ratio = 23/9 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Euclid step3 quotient times divisor := mul(2, 9) 操作後 Euclid step3 quotient times divisor = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Euclid step3 remainder := sub(23, 18) 操作後 Euclid step3 remainder = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 step=3;left=23;positive right=9;exact ratio=23/9;floor quotient=2 操作後 left=right*q+r with r=5 in[0,9);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Euclid step3 first coefficient multiple := mul(2, 4) 操作後 Euclid step3 first coefficient multiple = 8 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Euclid step3 first coefficient difference := sub(-3, 8) 操作後 Euclid step3 first coefficient difference = -11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euclid step3 second coefficient multiple := mul(2, -25) 操作後 Euclid step3 second coefficient multiple = -50 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Euclid step3 second coefficient difference := sub(19, -50) 操作後 Euclid step3 second coefficient difference = 69 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 step=3;two original-absolute-input coefficient pairs=[[-3, 19], [4, -25]];same quotient=2 操作後 next remainder coefficient pair=[-11, 69];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=5 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Euclid step4 exact ratio := div(9, 5) 操作後 Euclid step4 exact ratio = 9/5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 5) 操作後 Euclid step4 quotient times divisor = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euclid step4 remainder := sub(9, 5) 操作後 Euclid step4 remainder = 4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 step=4;left=9;positive right=5;exact ratio=9/5;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=4 in[0,5);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Euclid step4 first coefficient multiple := mul(1, -11) 操作後 Euclid step4 first coefficient multiple = -11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Euclid step4 first coefficient difference := sub(4, -11) 操作後 Euclid step4 first coefficient difference = 15 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Euclid step4 second coefficient multiple := mul(1, 69) 操作後 Euclid step4 second coefficient multiple = 69 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euclid step4 second coefficient difference := sub(-25, 69) 操作後 Euclid step4 second coefficient difference = -94 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 step=4;two original-absolute-input coefficient pairs=[[4, -25], [-11, 69]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[15, -94];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=4 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Euclid step5 exact ratio := div(5, 4) 操作後 Euclid step5 exact ratio = 5/4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Euclid step5 quotient times divisor := mul(1, 4) 操作後 Euclid step5 quotient times divisor = 4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Euclid step5 remainder := sub(5, 4) 操作後 Euclid step5 remainder = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 step=5;left=5;positive right=4;exact ratio=5/4;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=1 in[0,4);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euclid step5 first coefficient multiple := mul(1, 15) 操作後 Euclid step5 first coefficient multiple = 15 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Euclid step5 first coefficient difference := sub(-11, 15) 操作後 Euclid step5 first coefficient difference = -26 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Euclid step5 second coefficient multiple := mul(1, -94) 操作後 Euclid step5 second coefficient multiple = -94 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Euclid step5 second coefficient difference := sub(69, -94) 操作後 Euclid step5 second coefficient difference = 163 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 step=5;two original-absolute-input coefficient pairs=[[-11, 69], [15, -94]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[-26, 163];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=1 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Euclid step6 exact ratio := div(4, 1) 操作後 Euclid step6 exact ratio = 4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Euclid step6 quotient times divisor := mul(4, 1) 操作後 Euclid step6 quotient times divisor = 4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Euclid step6 remainder := sub(4, 4) 操作後 Euclid step6 remainder = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 step=6;left=4;positive right=1;exact ratio=4;floor quotient=4 操作後 left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Euclid step6 first coefficient multiple := mul(4, -26) 操作後 Euclid step6 first coefficient multiple = -104 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Euclid step6 first coefficient difference := sub(15, -104) 操作後 Euclid step6 first coefficient difference = 119 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Euclid step6 second coefficient multiple := mul(4, 163) 操作後 Euclid step6 second coefficient multiple = 652 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Euclid step6 second coefficient difference := sub(-94, 652) 操作後 Euclid step6 second coefficient difference = -746 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 step=6;two original-absolute-input coefficient pairs=[[15, -94], [-26, 163]];same quotient=4 操作後 next remainder coefficient pair=[119, -746];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 complete division rows=[[746, 119, 6, 32], [119, 32, 3, 23], [32, 23, 1, 9], [23, 9, 2, 5], [9, 5, 1, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal pair=[1, 0] 操作後 gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention 條件：無 終止時所有共同因數等於terminal left的因數，非負最大公因數就是left；(0,0)的0另由明示約定給出。不新增除以零的虛假一列。 步驟識別與依賴規則：euclid_terminal_gcd_not_extra_zero_division · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Euclid restore original a sign in coefficient := mul(-1, -26) 操作後 Euclid restore original a sign in coefficient = 26 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 163) 操作後 Euclid restore original b sign in coefficient = 163 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(-746, 26) 操作後 Euclid ORIGINAL signed a times x = -19396 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(119, 163) 操作後 Euclid ORIGINAL signed b times y = 19397 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Euclid final signed Bezout linear combination := sum(-19396, 19397) 操作後 Euclid final signed Bezout linear combination = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 original a=-746,b=119;deterministic absolute-chain coefficients=[-26, 163] 操作後 sign-restored source coefficients x=26,y=163;a*x+b*y=1=nonnegative gcd 條件：無 來源要求這條extended chain的確定係數，雖然其他Bézout係數也可能正確，仍不能替換來源答案。零符號保+1；(0,0)給原係數(1,0)及0=0，不聲稱唯一。 步驟識別與依賴規則：euclid_deterministic_signed_bezout_not_just_any_coefficients · 依賴：G001, S071 ## 逐步反向核對 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, 26, 163, 1, 是, extended_euclidean_back_substitution) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 19f53f22f10786549d401d1bbeadecc6330f27a9c41366cb9a3662e5867c69a8 - candidate record SHA-256: f131d99f68892a92c50277957fcee892f798ab1a18717329705685e351ba5c41 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0066.json)