# 第 18823 題：Euclidean演算法 [返回所在分頁 95](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/95/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0073) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18823 · q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0073 ## 原題與已知條件 exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":907,"b":133}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-bezout-certificate；資料={"a":907,"b":133}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-algorithm](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=euclid-bezout-certificate;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[gcd, x, y, linear_combination, equal, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original signed inputs a=907,b=133 操作後 initial nonnegative chain values=[907, 133];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input 條件：無 公因數的整除不受符號改變影響；gcd取非負。一般chain/invariant要求b非零，零邊界另保留(0,0)約定，不擅自套該限制。 步驟識別與依賴規則：euclid_signed_inputs_absolute_chain_scope · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euclid step0 exact ratio := div(907, 133) 操作後 Euclid step0 exact ratio = 907/133 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euclid step0 quotient times divisor := mul(6, 133) 操作後 Euclid step0 quotient times divisor = 798 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Euclid step0 remainder := sub(907, 798) 操作後 Euclid step0 remainder = 109 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 step=0;left=907;positive right=133;exact ratio=907/133;floor quotient=6 操作後 left=right*q+r with r=109 in[0,133);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient multiple := mul(6, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient multiple := mul(6, 1) 操作後 Euclid step0 second coefficient multiple = 6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 6) 操作後 Euclid step0 second coefficient difference = -6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=6 操作後 next remainder coefficient pair=[1, -6];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=109 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Euclid step1 exact ratio := div(133, 109) 操作後 Euclid step1 exact ratio = 133/109 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Euclid step1 quotient times divisor := mul(1, 109) 操作後 Euclid step1 quotient times divisor = 109 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Euclid step1 remainder := sub(133, 109) 操作後 Euclid step1 remainder = 24 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 step=1;left=133;positive right=109;exact ratio=133/109;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=24 in[0,109);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Euclid step1 first coefficient multiple := mul(1, 1) 操作後 Euclid step1 first coefficient multiple = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Euclid step1 first coefficient difference := sub(0, 1) 操作後 Euclid step1 first coefficient difference = -1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Euclid step1 second coefficient multiple := mul(1, -6) 操作後 Euclid step1 second coefficient multiple = -6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Euclid step1 second coefficient difference := sub(1, -6) 操作後 Euclid step1 second coefficient difference = 7 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 step=1;two original-absolute-input coefficient pairs=[[0, 1], [1, -6]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[-1, 7];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=24 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Euclid step2 exact ratio := div(109, 24) 操作後 Euclid step2 exact ratio = 109/24 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Euclid step2 quotient times divisor := mul(4, 24) 操作後 Euclid step2 quotient times divisor = 96 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Euclid step2 remainder := sub(109, 96) 操作後 Euclid step2 remainder = 13 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 step=2;left=109;positive right=24;exact ratio=109/24;floor quotient=4 操作後 left=right*q+r with r=13 in[0,24);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Euclid step2 first coefficient multiple := mul(4, -1) 操作後 Euclid step2 first coefficient multiple = -4 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Euclid step2 first coefficient difference := sub(1, -4) 操作後 Euclid step2 first coefficient difference = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Euclid step2 second coefficient multiple := mul(4, 7) 操作後 Euclid step2 second coefficient multiple = 28 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Euclid step2 second coefficient difference := sub(-6, 28) 操作後 Euclid step2 second coefficient difference = -34 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 step=2;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, -6], [-1, 7]];same quotient=4 操作後 next remainder coefficient pair=[5, -34];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=13 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Euclid step3 exact ratio := div(24, 13) 操作後 Euclid step3 exact ratio = 24/13 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Euclid step3 quotient times divisor := mul(1, 13) 操作後 Euclid step3 quotient times divisor = 13 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Euclid step3 remainder := sub(24, 13) 操作後 Euclid step3 remainder = 11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 step=3;left=24;positive right=13;exact ratio=24/13;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=11 in[0,13);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Euclid step3 first coefficient multiple := mul(1, 5) 操作後 Euclid step3 first coefficient multiple = 5 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Euclid step3 first coefficient difference := sub(-1, 5) 操作後 Euclid step3 first coefficient difference = -6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euclid step3 second coefficient multiple := mul(1, -34) 操作後 Euclid step3 second coefficient multiple = -34 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Euclid step3 second coefficient difference := sub(7, -34) 操作後 Euclid step3 second coefficient difference = 41 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 step=3;two original-absolute-input coefficient pairs=[[-1, 7], [5, -34]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[-6, 41];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=11 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Euclid step4 exact ratio := div(13, 11) 操作後 Euclid step4 exact ratio = 13/11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euclid step4 quotient times divisor := mul(1, 11) 操作後 Euclid step4 quotient times divisor = 11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euclid step4 remainder := sub(13, 11) 操作後 Euclid step4 remainder = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 step=4;left=13;positive right=11;exact ratio=13/11;floor quotient=1 操作後 left=right*q+r with r=2 in[0,11);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Euclid step4 first coefficient multiple := mul(1, -6) 操作後 Euclid step4 first coefficient multiple = -6 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Euclid step4 first coefficient difference := sub(5, -6) 操作後 Euclid step4 first coefficient difference = 11 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Euclid step4 second coefficient multiple := mul(1, 41) 操作後 Euclid step4 second coefficient multiple = 41 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euclid step4 second coefficient difference := sub(-34, 41) 操作後 Euclid step4 second coefficient difference = -75 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 step=4;two original-absolute-input coefficient pairs=[[5, -34], [-6, 41]];same quotient=1 操作後 next remainder coefficient pair=[11, -75];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=2 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Euclid step5 exact ratio := div(11, 2) 操作後 Euclid step5 exact ratio = 11/2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Euclid step5 quotient times divisor := mul(5, 2) 操作後 Euclid step5 quotient times divisor = 10 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Euclid step5 remainder := sub(11, 10) 操作後 Euclid step5 remainder = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 step=5;left=11;positive right=2;exact ratio=11/2;floor quotient=5 操作後 left=right*q+r with r=1 in[0,2);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euclid step5 first coefficient multiple := mul(5, 11) 操作後 Euclid step5 first coefficient multiple = 55 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Euclid step5 first coefficient difference := sub(-6, 55) 操作後 Euclid step5 first coefficient difference = -61 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Euclid step5 second coefficient multiple := mul(5, -75) 操作後 Euclid step5 second coefficient multiple = -375 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Euclid step5 second coefficient difference := sub(41, -375) 操作後 Euclid step5 second coefficient difference = 416 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 step=5;two original-absolute-input coefficient pairs=[[-6, 41], [11, -75]];same quotient=5 操作後 next remainder coefficient pair=[-61, 416];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=1 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Euclid step6 exact ratio := div(2, 1) 操作後 Euclid step6 exact ratio = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Euclid step6 quotient times divisor := mul(2, 1) 操作後 Euclid step6 quotient times divisor = 2 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Euclid step6 remainder := sub(2, 2) 操作後 Euclid step6 remainder = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 step=6;left=2;positive right=1;exact ratio=2;floor quotient=2 操作後 left=right*q+r with r=0 in[0,1);gcd pair=[1, 1] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Euclid step6 first coefficient multiple := mul(2, -61) 操作後 Euclid step6 first coefficient multiple = -122 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Euclid step6 first coefficient difference := sub(11, -122) 操作後 Euclid step6 first coefficient difference = 133 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Euclid step6 second coefficient multiple := mul(2, 416) 操作後 Euclid step6 second coefficient multiple = 832 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Euclid step6 second coefficient difference := sub(-75, 832) 操作後 Euclid step6 second coefficient difference = -907 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 step=6;two original-absolute-input coefficient pairs=[[11, -75], [-61, 416]];same quotient=2 操作後 next remainder coefficient pair=[133, -907];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 complete division rows=[[907, 133, 6, 109], [133, 109, 1, 24], [109, 24, 4, 13], [24, 13, 1, 11], [13, 11, 1, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal pair=[1, 0] 操作後 gcd(a,b)=gcd(1,0)=1;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention 條件：無 終止時所有共同因數等於terminal left的因數，非負最大公因數就是left；(0,0)的0另由明示約定給出。不新增除以零的虛假一列。 步驟識別與依賴規則：euclid_terminal_gcd_not_extra_zero_division · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Euclid restore original a sign in coefficient := mul(1, -61) 操作後 Euclid restore original a sign in coefficient = -61 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 416) 操作後 Euclid restore original b sign in coefficient = 416 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(907, -61) 操作後 Euclid ORIGINAL signed a times x = -55327 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(133, 416) 操作後 Euclid ORIGINAL signed b times y = 55328 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Euclid final signed Bezout linear combination := sum(-55327, 55328) 操作後 Euclid final signed Bezout linear combination = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 original a=907,b=133;deterministic absolute-chain coefficients=[-61, 416] 操作後 sign-restored source coefficients x=-61,y=416;a*x+b*y=1=nonnegative gcd 條件：無 來源要求這條extended chain的確定係數，雖然其他Bézout係數也可能正確，仍不能替換來源答案。零符號保+1；(0,0)給原係數(1,0)及0=0，不聲稱唯一。 步驟識別與依賴規則：euclid_deterministic_signed_bezout_not_just_any_coefficients · 依賴：G001, S071 ## 逐步反向核對 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 remainder，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step6 exact ratio，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 remainder，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step5 exact ratio，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step4 exact ratio，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 remainder，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step3 exact ratio，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, -61, 416, 1, 是, extended_euclidean_back_substitution) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1fa712447fd4558f84450740d88d8b646b02b6a4ac1726495e1986d1deed1b0f - candidate record SHA-256: 99c68709a77ede644ef7999f9d85dc995a3bc14b278759cc8a040874130aa0bb - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0073.json)