# 第 18893 題：Euclidean演算法 [返回所在分頁 95](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/95/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0093) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18893 · q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0093 ## 原題與已知條件 exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-zero-input-boundary；資料={"a":0,"b":18}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact integer quotient-remainder chain與嚴格餘數下降。操作=euclid-zero-input-boundary；資料={"a":0,"b":18}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euclidean-algorithm](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euclidean-algorithm/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=euclid-zero-input-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[a, b, gcd, x, y, linear_combination, convention] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original signed inputs a=0,b=18 操作後 initial nonnegative chain values=[0, 18];gcd(a,b)=gcd(abs(a),abs(b));never divide by a zero right input 條件：無 公因數的整除不受符號改變影響；gcd取非負。一般chain/invariant要求b非零，零邊界另保留(0,0)約定，不擅自套該限制。 步驟識別與依賴規則：euclid_signed_inputs_absolute_chain_scope · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euclid step0 exact ratio := div(0, 18) 操作後 Euclid step0 exact ratio = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euclid step0 quotient times divisor := mul(0, 18) 操作後 Euclid step0 quotient times divisor = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Euclid step0 remainder := sub(0, 0) 操作後 Euclid step0 remainder = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 step=0;left=0;positive right=18;exact ratio=0;floor quotient=0 操作後 left=right*q+r with r=0 in[0,18);gcd pair=[18, 18] 條件：無 任意d同時整除left,right，等價整除right,left−q·right，所以gcd不變。下一個非負right是嚴格較小r，故不能無限下降；這是與不變性分開的終止理由。 步驟識別與依賴規則：euclid_each_division_common_divisors_and_strict_descent · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient multiple := mul(0, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 Euclid step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient multiple := mul(0, 1) 操作後 Euclid step0 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 0) 操作後 Euclid step0 second coefficient difference = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 step=0;two original-absolute-input coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]];same quotient=0 操作後 next remainder coefficient pair=[1, 0];abs(a)*s_next+abs(b)*t_next=0 條件：無 餘數與兩個係數用同一商更新，歸納保每一列是原abs(a),abs(b)的線性組合；不是gcd算完再猜係數。 步驟識別與依賴規則：euclid_extended_coefficients_same_quotient_recurrence · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 complete division rows=[[0, 18, 0, 0]];terminal pair=[18, 0] 操作後 gcd(a,b)=gcd(18,0)=18;all divisions used positive divisors;nonnegative gcd convention 條件：無 終止時所有共同因數等於terminal left的因數，非負最大公因數就是left；(0,0)的0另由明示約定給出。不新增除以零的虛假一列。 步驟識別與依賴規則：euclid_terminal_gcd_not_extra_zero_division · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Euclid restore original a sign in coefficient := mul(1, 0) 操作後 Euclid restore original a sign in coefficient = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Euclid restore original b sign in coefficient := mul(1, 1) 操作後 Euclid restore original b sign in coefficient = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed a times x := mul(0, 0) 操作後 Euclid ORIGINAL signed a times x = 0 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Euclid ORIGINAL signed b times y := mul(18, 1) 操作後 Euclid ORIGINAL signed b times y = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Euclid final signed Bezout linear combination := sum(0, 18) 操作後 Euclid final signed Bezout linear combination = 18 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 original a=0,b=18;deterministic absolute-chain coefficients=[0, 1] 操作後 sign-restored source coefficients x=0,y=1;a*x+b*y=18=nonnegative gcd 條件：無 來源要求這條extended chain的確定係數，雖然其他Bézout係數也可能正確，仍不能替換來源答案。零符號保+1；(0,0)給原係數(1,0)及0=0，不聲稱唯一。 步驟識別與依賴規則：euclid_deterministic_signed_bezout_not_just_any_coefficients · 依賴：G001, S017 ## 逐步反向核對 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid final signed Bezout linear combination，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed b times y，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid ORIGINAL signed a times x，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original b sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid restore original a sign in coefficient，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 quotient times divisor，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (0, 18, 18, 0, 1, 18, no_division_by_zero_executed) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 17ffdad6d8764f1ebf35f5c58db17ef2e73830f98af5110b3219f74c1aeea7bf - candidate record SHA-256: 96108882669dc54ce0722a3ab51f03c2862cc8beb813004abd0d9be0e77cca0d - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r03-euclidean-algorithm-0093.json)