# 第 18901 題：Euler trail與circuit [返回所在分頁 95](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/95/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261105-r04-eulerian-trail-foundations/#q-20261014-advance-20261105-r04-eulerian-trail-0026) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0036-18901 · q-20261014-advance-20261105-r04-eulerian-trail-0026 ## 原題與已知條件 完整有限簡單無向圖、edge support與明示walk。操作=euler-odd-degree-classification；資料={"n":2,"edges":[[0,1]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限簡單無向圖、edge support與明示walk。操作=euler-odd-degree-classification；資料={"n":2,"edges":[[0,1]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-eulerian-trail](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-eulerian-trail/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=euler-odd-degree-classification;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[degrees, odd_vertices, edge_support_connected, euler_type, criterion] 條件：無 原題歷史介面標記仍在快照；這裡直接給原始欄位順序，主文不需JavaScript或外部表。描述欄位不自動證成任何數學聲稱。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 complete ORIGINAL carrier Fin(2);canonical ORIGINAL simple undirected edges=[[0, 1]] 操作後 edge indices are EXACT original list positions0..0;retain ALL vertices;no12-vertex or10-edge bound 條件：無 逐原邊位置固定索引，不用頂點對的字串排序代替來源數字順序。此題族允許到60頂點，不沿用前題族上界；零邊圖僅在允許的操作出現。 步驟識別與依賴規則：euler_original_simple_graph_indices_full_carrier · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euler vertex0 exact incident edge count := sum(1) 操作後 Euler vertex0 exact incident edge count = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 original vertex=0;ALL original incident edge indices=[0] 操作後 degree=1;nonisolated=是;odd=是 條件：無 只對原完整邊表計此頂點的incident邊，度數0的頂點仍留在全carrier；不是拿頂點標籤或support大小當degree。 步驟識別與依賴規則：euler_degree_actual_incidence_not_label_or_support_size · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Euler vertex1 exact incident edge count := sum(1) 操作後 Euler vertex1 exact incident edge count = 1 條件：無 依原資料角色及前面已核中間量精確代值，保留索引、正負號與所在空間。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 original vertex=1;ALL original incident edge indices=[0] 操作後 degree=1;nonisolated=是;odd=是 條件：無 只對原完整邊表計此頂點的incident邊，度數0的頂點仍留在全carrier；不是拿頂點標籤或support大小當degree。 步驟識別與依賴規則：euler_degree_actual_incidence_not_label_or_support_size · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 nonisolated edge support:original edge index=0;edge=[0, 1];from=0;new vertex=1 操作後 original-edge path from0=[0, 1];reached=[0, 1] 條件：無 每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。 步驟識別與依賴規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 nonisolated edge support:complete permitted carrier=[0, 1];reached=[0, 1];unreached=[];ALL original edges=[[0, 1]] 操作後 no edge in carrier crosses reached/unreached cut;connected=是 條件：無 BFS耗盡給沒有跨cut的邊：有未達點便無起點到它的路徑，全部達到則路徑見證覆蓋。support與全carrier各自核對，不能為了全圖connected偷刪孤立點。 步驟識別與依賴規則：euler_complete_reachability_closed_cut_not_isolate_deletion · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 whole original carrier:original edge index=0;edge=[0, 1];from=0;new vertex=1 操作後 original-edge path from0=[0, 1];reached=[0, 1] 條件：無 每個新達頂點均列真邊路徑；support起點取其第一個實際頂點，不假定一定有邊接頂點0。 步驟識別與依賴規則：euler_connectivity_actual_path_witness · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 whole original carrier:complete permitted carrier=[0, 1];reached=[0, 1];unreached=[];ALL original edges=[[0, 1]] 操作後 no edge in carrier crosses reached/unreached cut;connected=是 條件：無 BFS耗盡給沒有跨cut的邊：有未達點便無起點到它的路徑，全部達到則路徑見證覆蓋。support與全carrier各自核對，不能為了全圖connected偷刪孤立點。 步驟識別與依賴規則：euler_complete_reachability_closed_cut_not_isolate_deletion · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 complete degree list=[1, 1];ALL odd vertices=[0, 1];actual nonisolated support=[0, 1];support connected=是;whole graph connected=是 操作後 ANY full-edge trail joins all nonisolated vertices in one support component;each internal visit pairs incident edges,leaving only0 or2 odd endpoints 條件：無 若有全邊trail，每條有邊的頂點都在此walk串成的一個分量。每個內部進出配成兩條incident邊，只有不同端點可能各餘一條，故奇點只可0或2。這是必要性全稱理由，不從一次walk測試猜。孤立點不在edge support。 步驟識別與依賴規則：euler_necessary_connected_support_and_degree_parity · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 Hierholzer stack top=0;first unused incident ORIGINAL edge index=0;edge=[0, 1] 操作後 mark edge used ONCE;push vertex=1;current stack=[0, 1];used edge set=[0] 條件：無 沿當前頂點一條未用真邊延伸，每次標一次邊，所以用邊數有限增加；頂點可以重訪，邊不重用。 步驟識別與依賴規則：euler_constructive_unused_edge_extension · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Hierholzer current stack=[0, 1];top vertex has NO unused incident edge 操作後 finalize top into reverse output=[1];remaining stack=[0] 條件：無 沒有未用邊才回退並逆序收集頂點；這是拼接閉段的紀錄，不在耗盡頂點處強走不存在的邊。 步驟識別與依賴規則：euler_constructive_backtracking_cycle_splice · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Hierholzer current stack=[0];top vertex has NO unused incident edge 操作後 finalize top into reverse output=[1, 0];remaining stack=[] 條件：無 沒有未用邊才回退並逆序收集頂點；這是拼接閉段的紀錄，不在耗盡頂點處強走不存在的邊。 步驟識別與依賴規則：euler_constructive_backtracking_cycle_splice · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 connected nonisolated support=[0, 1];odd vertices=[0, 1];finished reversed construction 操作後 ACTUAL Euler witness walk=[0, 1];actual ORIGINAL edge order=[0];every original edge once;endpoints have required parity 條件：無 把最終walk逐步映回原邊，核長度m+1、索引無重複且全集覆蓋，便直接證此圖存在Euler trail。0奇點時閉合，2奇點時端點是那兩點；不是只看奇數個數就宣稱存在，也不推出Hamilton性質。 步驟識別與依賴規則：euler_sufficiency_actual_full_edge_witness_not_parity_alone · 依賴：G001, S014 ## 逐步反向核對 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler vertex1 exact incident edge count，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler vertex0 exact incident edge count，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 1], [0, 1], 是, open_euler_trail, zero_or_two_odd_vertices_on_connected_edge_support) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4eaa9d4c02d5e00481729469de15f04981e82142f833799a83c7a6710eeaecde - candidate record SHA-256: 20884a69ec8f349a7eb8c3dc42759bb99a20798588088c883a022630a6bcaaa1 - semantic review receipt SHA-256: efee5462991619d6ed9f64f11ddb085e5614ef33f9f8fcd8cf29b9329f8fd301 - question-first witness SHA-256: acf91fa1622f01d2cf04b2c513294254323665351f660f2628aaafdb869c4ff2 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261105-r04-eulerian-trail-0026.json)