# 第 19417 題：色數 [返回所在分頁 98](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/98/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r01-chromatic-number-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r01-chromatic-number-0067) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0037-19417 · q-20261014-advance-20261106-r01-chromatic-number-0067 ## 原題與已知條件 完整有限簡單圖、proper vertex coloring與exact最小性證書。操作=chromatic-exact-number；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[0,5],[1,2],[2,3],[2,5],[3,4],[4,5]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限簡單圖、proper vertex coloring與exact最小性證書。操作=chromatic-exact-number；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[0,5],[1,2],[2,3],[2,5],[3,4],[4,5]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-chromatic-number](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chromatic-number/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=chromatic-exact-number;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[chromatic_number, canonical_coloring, lower_bound_exhausted, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列原始欄位順序，不需JavaScript或查外部表。欄位名字本身不自動是數學證據，No依各題的聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ACTUAL complete finite carrier Fin(6);ALL original canonical simple undirected edges=[[0, 1], [0, 5], [1, 2], [2, 3], [2, 5], [3, 4], [4, 5]] 操作後 use full original vertex/edge data;exact search domain n<=9;empty carrier and isolated vertices RETAINED 條件：無 頂點與邊完整且索引原封不動；此題族含n=0，不能套前題n至少1或把孤立點刪掉。後面實際palette標籤不能被semantic改名取代。 步驟識別與依賴規則：chromatic_complete_graph_not_semantic_color_relabeling · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ACTUAL graph Fin(6);try palette[0,1);original vertex order0..5 操作後 search ALL earlier lexicographic prefixes:vertex order fixed,each color tried increasingly;only an actual earlier-edge conflict may prune 條件：無 每個k依序完整搜尋，不把一次greedy失敗當不可著色；每層原vertex順序與遞增顏色決定來源第一個lex witness。實際邊衝突可剪枝，否則必繼續或完整回退。 步驟識別與依賴規則：chromatic_complete_lex_search_not_greedy_optimality · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 palette=1;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 palette=1;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 palette=1;original vertex=1;original fixed prefix=[0];ALL colors0..0 attempted 操作後 no valid completion of this prefix in this palette 條件：無 此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。 步驟識別與依賴規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 palette=1;original prefix=[];vertex=0;chosen color=0;ALL its later completions exhausted 操作後 restore this unassigned coordinate and try the next ascending color 條件：無 子樹完整失敗才回退，此支所有後續選色都已被實際衝突或其完整子樹排除，不是測一次就換色。 步驟識別與依賴規則：chromatic_exhausted_branch_backtracking_not_one_bad_sample · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 palette=1;original vertex=0;original fixed prefix=[];ALL colors0..0 attempted 操作後 no valid completion of this prefix in this palette 條件：無 此vertex所有合法palette標籤都已試完，故固定prefix沒有完成解；從根節點的此結論才排除整個k palette。 步驟識別與依賴規則：chromatic_full_palette_exhaustion_at_prefix · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 palette[0,1) searched from EMPTY root prefix with full branch exclusions 操作後 NO proper coloring exists in this palette;any smaller palette is a subset of it 條件：無 完整根樹耗盡才給真正lower證據；任意更少顏色可嵌入此palette，故也被排除，不依賴任一greedy路徑。 步驟識別與依賴規則：chromatic_actual_lower_palette_exhaustion · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ACTUAL graph Fin(6);try palette[0,2);original vertex order0..5 操作後 search ALL earlier lexicographic prefixes:vertex order fixed,each color tried increasingly;only an actual earlier-edge conflict may prune 條件：無 每個k依序完整搜尋，不把一次greedy失敗當不可著色；每層原vertex順序與遞增顏色決定來源第一個lex witness。實際邊衝突可剪枝，否則必繼續或完整回退。 步驟識別與依賴規則：chromatic_complete_lex_search_not_greedy_optimality · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 palette=2;original vertex=0;assigned ORIGINAL prefix=[];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 palette=2;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0];admissible extension=否 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 palette=2;original vertex=1;assigned ORIGINAL prefix=[0];try next ascending color=1 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 palette=2;original vertex=2;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 palette=2;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 0];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[2];admissible extension=否 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 palette=2;original vertex=3;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 0];try next ascending color=1 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 palette=2;original vertex=4;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 0, 1];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 palette=2;original vertex=5;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 0, 1, 0];try next ascending color=0 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[0, 2, 4];admissible extension=否 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 palette=2;original vertex=5;assigned ORIGINAL prefix=[0, 1, 0, 1, 0];try next ascending color=1 操作後 ALL earlier adjacent vertices already using this label=[];admissible extension=是 條件：無 列出此prefix嘗試顏色的全部先前真鄰點衝突；有衝突整個擴充都不合法，無衝突則還須遞迴核完其餘頂點，不把局部通過當全解。 步驟識別與依賴規則：chromatic_every_prefix_color_conflict_or_recursion · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 FIRST completed vertex-order increasing-color search witness=[0, 1, 0, 1, 0, 1];palette size=2;ALL smaller palettes exhausted 操作後 every ORIGINAL edge endpoints different;constructive chi<= 2 and exhaustive chi>= 2;chi=2;first LEX witness retained 條件：無 找到的完整著色逐原邊合法給上界，前面的完整失敗palette給下界；二者相等才是exact最小值。因DFS原順序，這是來源第一個lex witness，非任意同色數解。非空無邊時第一個k=1給全0，不需虛構0色搜尋。 步驟識別與依賴規則：chromatic_constructive_upper_and_exhausted_lower_tie_order · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, [0, 1, 0, 1, 0, 1], 是, exhaustive_lower_and_constructive_upper_certificates) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: afb2978ad5b15c8cf15e3f0be0b5c117b4f0536ad2b9579ccab05fb69f99f416 - candidate record SHA-256: cc3881d45e147bd14d62010d48003b35fa9a2a41bfcb386b10fd7b4029905c14 - semantic review receipt SHA-256: 065507b602ceee60cf47a700d387a51940e0c6724c35a3336a7a7948a199ed80 - question-first witness SHA-256: 7203f33b030792559673b0fee520a8c0e70903c4dd970b35293aa40852f333d6 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r01-chromatic-number-0067.json)