# 第 19521 題：Clique與獨立集

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0038-19521 · q-20261014-advance-20261106-r02-clique-and-independent-set-0021



## 原題與已知條件

完整有限簡單圖與全部候選頂點對。操作=clique-clique-audit；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[0,2],[1,2],[1,5],[2,4],[3,4]],"vertices":[0,1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 完整有限簡單圖與全部候選頂點對。操作=clique-clique-audit；資料={"n":6,"edges":[[0,1],[0,2],[1,2],[1,5],[2,4],[3,4]],"vertices":[0,1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-clique-and-independent-set](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-clique-and-independent-set/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=clique-clique-audit;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[vertices, is_clique, candidate_size, boundary]

條件：無

原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · implies操作前

complete ORIGINAL finite carrier Fin(6);ALL canonical simple undirected original edges=[[0, 1], [0, 2], [1, 2], [1, 5], [2, 4], [3, 4]]

操作後

all vertices and edge indices retained;extrema slice n<=9 includes empty carrier;complement reverses ONLY distinct-vertex adjacency

條件：無

空圖與孤立點都保留；complement只在不同頂點間反轉有無邊，不新增自環。這是bounded完整圖證書，不從某個局部子圖推原圖極值。

步驟識別與依賴規則：clique_complete_graph_carrier_not_sample_or_loop_complement · 依賴：G001, S001





S003 · implies操作前

RAW original candidate vertices=[0, 1, 2];normalized SORTED vertices=[0, 1, 2];ALL distinct candidate pair adjacency rows=[[0, 1, 是], [0, 2, 是], [1, 2, 是]]

操作後

clique=是 iff ALL pair entries true;independent=否 iff ALL false;candidate size=3;duplicates were rejected,not deduplicated

條件：無

逐候選全部不同頂點對核完整原邊表；空／單點候選的pair條件依全稱空真。size是候選大小，只有對應valid才給真正extremum下界，不因大小相等就修好無效候選。

步驟識別與依賴規則：clique_every_pair_full_candidate_not_size_alone · 依賴：G001, S002









## 逐步反向核對


- S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

([0, 1, 2], 是, 3, candidate_clique_only_lower_bound_on_omega)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: 024ffeb1952e830dd23de43f3bf297e6bb8626444582aaebb1dd0cf9236ac8f5
- candidate record SHA-256: 8e2d51746ee9e43b059e53f7fcbbec0d7ab6c78573ab818d415f4e20ccc31e61
- semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612
- question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r02-clique-and-independent-set-0021.json)