# 第 19781 題：估計量變異數 [返回所在分頁 99](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/99/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-0056) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19781 · q-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-0056 ## 原題與已知條件 共同有限樣本空間與逐theta estimator sampling law。操作=estvar-second-moment-identity；資料={"laws":[[[1,15],[2,15],[3,15],[9,15]],[[2,19],[3,19],[4,19],[10,19]]],"statistic":[0,1,7,8],"parameter":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 共同有限樣本空間與逐theta estimator sampling law。操作=estvar-second-moment-identity；資料={"laws":[[[1,15],[2,15],[3,15],[9,15]],[[2,19],[3,19],[4,19],[10,19]]],"statistic":[0,1,7,8],"parameter":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-estimator-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-variance/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=estvar-second-moment-identity;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[parameter_index, second_moment, expectation, second_minus_squared_mean, variance, equal] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 variance parameter0 complete law mass := sum(1/15, 2/15, 1/5, 3/5) 操作後 variance parameter0 complete law mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original parameter SLOT=0;ALL original outcome masses=[1/15, 2/15, 1/5, 3/5];ONE fixed statistic=[0, 1, 7, 8] 操作後 complete same-law mass=1;all masses nonnegative;positive-mass support=[0, 1, 2, 3];null outcomes RETAINED 條件：無 各參數law各自合格且總和1；同一T定義不依未知參數，但law、mean與variance依各row計。null結果仍在原表，只是不在該law的正質量support。 步驟識別與依賴規則：estvar_full_law_statistic_null_support_roles · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 variance parameter1 complete law mass := sum(2/19, 3/19, 4/19, 10/19) 操作後 variance parameter1 complete law mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 original parameter SLOT=1;ALL original outcome masses=[2/19, 3/19, 4/19, 10/19];ONE fixed statistic=[0, 1, 7, 8] 操作後 complete same-law mass=1;all masses nonnegative;positive-mass support=[0, 1, 2, 3];null outcomes RETAINED 條件：無 各參數law各自合格且總和1；同一T定義不依未知參數，但law、mean與variance依各row計。null結果仍在原表，只是不在該law的正質量support。 步驟識別與依賴規則：estvar_full_law_statistic_null_support_roles · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 weighted T := mul(2/19, 0) 操作後 variance parameter1 outcome0 weighted T = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 weighted T := mul(3/19, 1) 操作後 variance parameter1 outcome1 weighted T = 3/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 weighted T := mul(4/19, 7) 操作後 variance parameter1 outcome2 weighted T = 28/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 weighted T := mul(10/19, 8) 操作後 variance parameter1 outcome3 weighted T = 80/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 variance parameter1 SAME-law mean := sum(0, 3/19, 28/19, 80/19) 操作後 variance parameter1 SAME-law mean = 111/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 T minus SAME mean := sub(0, 111/19) 操作後 variance parameter1 outcome0 T minus SAME mean = -111/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 centered square := mul(-111/19, -111/19) 操作後 variance parameter1 outcome0 centered square = 12321/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 weighted centered square := mul(2/19, 12321/361) 操作後 variance parameter1 outcome0 weighted centered square = 24642/6859 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 T minus SAME mean := sub(1, 111/19) 操作後 variance parameter1 outcome1 T minus SAME mean = -92/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 centered square := mul(-92/19, -92/19) 操作後 variance parameter1 outcome1 centered square = 8464/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 weighted centered square := mul(3/19, 8464/361) 操作後 variance parameter1 outcome1 weighted centered square = 25392/6859 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 T minus SAME mean := sub(7, 111/19) 操作後 variance parameter1 outcome2 T minus SAME mean = 22/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 centered square := mul(22/19, 22/19) 操作後 variance parameter1 outcome2 centered square = 484/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 weighted centered square := mul(4/19, 484/361) 操作後 variance parameter1 outcome2 weighted centered square = 1936/6859 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 T minus SAME mean := sub(8, 111/19) 操作後 variance parameter1 outcome3 T minus SAME mean = 41/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 centered square := mul(41/19, 41/19) 操作後 variance parameter1 outcome3 centered square = 1681/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 weighted centered square := mul(10/19, 1681/361) 操作後 variance parameter1 outcome3 weighted centered square = 16810/6859 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 variance parameter1 full centered variance := sum(24642/6859, 25392/6859, 1936/6859, 16810/6859) 操作後 variance parameter1 full centered variance = 3620/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 FIXED parameter SLOT=1;original same law=[2/19, 3/19, 4/19, 10/19];same statistic=[0, 1, 7, 8];its own mean=111/19;ALL centered deviations=[-111/19, -92/19, 22/19, 41/19] 操作後 ALL nonnegative weighted centered squares=[24642/6859, 25392/6859, 1936/6859, 16810/6859];variance=3620/361;variance0 iff EVERY positive-mass outcome has T=THIS mean 條件：無 有限個非負項總和為0當且僅當每項為0；正質量處推出T=此mean，零質量處不限制T。這是同一law下幾乎必然常數，不是全表字面常數、無偏或其他參數下常數。 步驟識別與依賴規則：estvar_zero_iff_same_law_almost_sure_not_null_table_constancy · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 variance second moment outcome0 T squared := mul(0, 0) 操作後 variance second moment outcome0 T squared = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 variance second moment outcome0 weighted T squared := mul(2/19, 0) 操作後 variance second moment outcome0 weighted T squared = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 variance second moment outcome1 T squared := mul(1, 1) 操作後 variance second moment outcome1 T squared = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 variance second moment outcome1 weighted T squared := mul(3/19, 1) 操作後 variance second moment outcome1 weighted T squared = 3/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 variance second moment outcome2 T squared := mul(7, 7) 操作後 variance second moment outcome2 T squared = 49 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 variance second moment outcome2 weighted T squared := mul(4/19, 49) 操作後 variance second moment outcome2 weighted T squared = 196/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 variance second moment outcome3 T squared := mul(8, 8) 操作後 variance second moment outcome3 T squared = 64 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 variance second moment outcome3 weighted T squared := mul(10/19, 64) 操作後 variance second moment outcome3 weighted T squared = 640/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 variance full SAME-law second moment := sum(0, 3/19, 196/19, 640/19) 操作後 variance full SAME-law second moment = 839/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 variance square of SAME-law mean := mul(111/19, 111/19) 操作後 variance square of SAME-law mean = 12321/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 variance second moment minus mean squared := sub(839/19, 12321/361) 操作後 variance second moment minus mean squared = 3620/361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 FIXED original law at SLOT=1;mass sum1;E[T]=111/19;E[T^2]=839/19;mean squared=12321/361 操作後 expand sum mass*(T-mean)^2=E[T^2]-2*mean*E[T]+mean^2*1=3620/361=centered variance=3620/361 條件：無 展開有限和並用同一law的質量和1與mean定義，才得第二動差減平均平方。E[T²]與(E[T])²分開算，兩個variance欄也由兩條確切計算互核。 步驟識別與依賴規則：estvar_full_second_moment_identity_not_square_of_mean · 依賴：G001, S035 ## 逐步反向核對 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment minus mean squared，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance square of SAME-law mean，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance full SAME-law second moment，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome3 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome3 T squared，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome2 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome2 T squared，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome1 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome1 T squared，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome0 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome0 T squared，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 full centered variance，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 centered square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 centered square，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 centered square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 centered square，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 SAME-law mean，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 weighted T，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 weighted T，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 weighted T，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 weighted T，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 complete law mass，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter0 complete law mass，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, 839/19, 111/19, 3620/361, 3620/361, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: dd9afe8888f64f944c99d16b2cbd2f62093cc1a87f7becb7bb1776809d181a95 - candidate record SHA-256: 48d9ba66cd08039810e27e85184a0f7282e04cc8b9a7db0112103760b191ac00 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-0056.json)