# 第 19793 題：估計量變異數 [返回所在分頁 99](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/99/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-0068) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19793 · q-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-0068 ## 原題與已知條件 共同有限樣本空間與逐theta estimator sampling law。操作=estvar-second-moment-identity；資料={"laws":[[[1,27],[2,27],[3,27],[21,27]],[[2,31],[3,31],[4,31],[22,31]]],"statistic":[0,1,19,20],"parameter":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 共同有限樣本空間與逐theta estimator sampling law。操作=estvar-second-moment-identity；資料={"laws":[[[1,27],[2,27],[3,27],[21,27]],[[2,31],[3,31],[4,31],[22,31]]],"statistic":[0,1,19,20],"parameter":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-estimator-variance](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-estimator-variance/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=estvar-second-moment-identity;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[parameter_index, second_moment, expectation, second_minus_squared_mean, variance, equal] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 variance parameter0 complete law mass := sum(1/27, 2/27, 1/9, 7/9) 操作後 variance parameter0 complete law mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original parameter SLOT=0;ALL original outcome masses=[1/27, 2/27, 1/9, 7/9];ONE fixed statistic=[0, 1, 19, 20] 操作後 complete same-law mass=1;all masses nonnegative;positive-mass support=[0, 1, 2, 3];null outcomes RETAINED 條件：無 各參數law各自合格且總和1；同一T定義不依未知參數，但law、mean與variance依各row計。null結果仍在原表，只是不在該law的正質量support。 步驟識別與依賴規則：estvar_full_law_statistic_null_support_roles · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 variance parameter1 complete law mass := sum(2/31, 3/31, 4/31, 22/31) 操作後 variance parameter1 complete law mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 original parameter SLOT=1;ALL original outcome masses=[2/31, 3/31, 4/31, 22/31];ONE fixed statistic=[0, 1, 19, 20] 操作後 complete same-law mass=1;all masses nonnegative;positive-mass support=[0, 1, 2, 3];null outcomes RETAINED 條件：無 各參數law各自合格且總和1；同一T定義不依未知參數，但law、mean與variance依各row計。null結果仍在原表，只是不在該law的正質量support。 步驟識別與依賴規則：estvar_full_law_statistic_null_support_roles · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 weighted T := mul(2/31, 0) 操作後 variance parameter1 outcome0 weighted T = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 weighted T := mul(3/31, 1) 操作後 variance parameter1 outcome1 weighted T = 3/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 weighted T := mul(4/31, 19) 操作後 variance parameter1 outcome2 weighted T = 76/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 weighted T := mul(22/31, 20) 操作後 variance parameter1 outcome3 weighted T = 440/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 variance parameter1 SAME-law mean := sum(0, 3/31, 76/31, 440/31) 操作後 variance parameter1 SAME-law mean = 519/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 T minus SAME mean := sub(0, 519/31) 操作後 variance parameter1 outcome0 T minus SAME mean = -519/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 centered square := mul(-519/31, -519/31) 操作後 variance parameter1 outcome0 centered square = 269361/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 variance parameter1 outcome0 weighted centered square := mul(2/31, 269361/961) 操作後 variance parameter1 outcome0 weighted centered square = 538722/29791 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 T minus SAME mean := sub(1, 519/31) 操作後 variance parameter1 outcome1 T minus SAME mean = -488/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 centered square := mul(-488/31, -488/31) 操作後 variance parameter1 outcome1 centered square = 238144/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 variance parameter1 outcome1 weighted centered square := mul(3/31, 238144/961) 操作後 variance parameter1 outcome1 weighted centered square = 714432/29791 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 T minus SAME mean := sub(19, 519/31) 操作後 variance parameter1 outcome2 T minus SAME mean = 70/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 centered square := mul(70/31, 70/31) 操作後 variance parameter1 outcome2 centered square = 4900/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 variance parameter1 outcome2 weighted centered square := mul(4/31, 4900/961) 操作後 variance parameter1 outcome2 weighted centered square = 19600/29791 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 T minus SAME mean := sub(20, 519/31) 操作後 variance parameter1 outcome3 T minus SAME mean = 101/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 centered square := mul(101/31, 101/31) 操作後 variance parameter1 outcome3 centered square = 10201/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 variance parameter1 outcome3 weighted centered square := mul(22/31, 10201/961) 操作後 variance parameter1 outcome3 weighted centered square = 224422/29791 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 variance parameter1 full centered variance := sum(538722/29791, 714432/29791, 19600/29791, 224422/29791) 操作後 variance parameter1 full centered variance = 48296/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 FIXED parameter SLOT=1;original same law=[2/31, 3/31, 4/31, 22/31];same statistic=[0, 1, 19, 20];its own mean=519/31;ALL centered deviations=[-519/31, -488/31, 70/31, 101/31] 操作後 ALL nonnegative weighted centered squares=[538722/29791, 714432/29791, 19600/29791, 224422/29791];variance=48296/961;variance0 iff EVERY positive-mass outcome has T=THIS mean 條件：無 有限個非負項總和為0當且僅當每項為0；正質量處推出T=此mean，零質量處不限制T。這是同一law下幾乎必然常數，不是全表字面常數、無偏或其他參數下常數。 步驟識別與依賴規則：estvar_zero_iff_same_law_almost_sure_not_null_table_constancy · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 variance second moment outcome0 T squared := mul(0, 0) 操作後 variance second moment outcome0 T squared = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 variance second moment outcome0 weighted T squared := mul(2/31, 0) 操作後 variance second moment outcome0 weighted T squared = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 variance second moment outcome1 T squared := mul(1, 1) 操作後 variance second moment outcome1 T squared = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 variance second moment outcome1 weighted T squared := mul(3/31, 1) 操作後 variance second moment outcome1 weighted T squared = 3/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 variance second moment outcome2 T squared := mul(19, 19) 操作後 variance second moment outcome2 T squared = 361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 variance second moment outcome2 weighted T squared := mul(4/31, 361) 操作後 variance second moment outcome2 weighted T squared = 1444/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 variance second moment outcome3 T squared := mul(20, 20) 操作後 variance second moment outcome3 T squared = 400 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 variance second moment outcome3 weighted T squared := mul(22/31, 400) 操作後 variance second moment outcome3 weighted T squared = 8800/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 variance full SAME-law second moment := sum(0, 3/31, 1444/31, 8800/31) 操作後 variance full SAME-law second moment = 10247/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 variance square of SAME-law mean := mul(519/31, 519/31) 操作後 variance square of SAME-law mean = 269361/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 variance second moment minus mean squared := sub(10247/31, 269361/961) 操作後 variance second moment minus mean squared = 48296/961 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 FIXED original law at SLOT=1;mass sum1;E[T]=519/31;E[T^2]=10247/31;mean squared=269361/961 操作後 expand sum mass*(T-mean)^2=E[T^2]-2*mean*E[T]+mean^2*1=48296/961=centered variance=48296/961 條件：無 展開有限和並用同一law的質量和1與mean定義，才得第二動差減平均平方。E[T²]與(E[T])²分開算，兩個variance欄也由兩條確切計算互核。 步驟識別與依賴規則：estvar_full_second_moment_identity_not_square_of_mean · 依賴：G001, S035 ## 逐步反向核對 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment minus mean squared，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance square of SAME-law mean，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance full SAME-law second moment，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome3 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome3 T squared，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome2 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome2 T squared，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome1 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome1 T squared，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome0 weighted T squared，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance second moment outcome0 T squared，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 full centered variance，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 centered square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 centered square，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 centered square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 centered square，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 T minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 SAME-law mean，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome3 weighted T，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome2 weighted T，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome1 weighted T，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 outcome0 weighted T，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter1 complete law mass，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 variance parameter0 complete law mass，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (1, 10247/31, 519/31, 48296/961, 48296/961, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 93f0841777fd79a8be0132ffc64ec9cadf6c27ebeac4e27324858f201c91406c - candidate record SHA-256: 57d93b9ffbd87f976de5fa22b3321cb448d210f02e661e9206487ce1078c84b1 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r04-estimator-variance-0068.json)