# 第 19886 題：Fermat小定理 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0011) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19886 · q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0011 ## 原題與已知條件 exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-prime-coprime；資料={"p":31,"a":12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-prime-coprime；資料={"p":31,"a":12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fermat-little-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=flt-prime-coprime;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, normalized_base, power_p_minus_1, congruence_certificate, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ACTUAL integer modulus=31;complete trial range2..floor_sqrt=5 操作後 checked rows[divisor,quotient,remainder]=[[2, 15, 1], [3, 10, 1], [4, 7, 3], [5, 6, 1]];first exact factor=null;prime=是 條件：無 若找到2到sqrt範圍的真因數就是合數見證。若全部試除無因數，任意合數分解必至少一因數≤sqrt，故排除全部合成情形；2的試除範圍空仍合法。不是以一次Fermat測試證prime。 步驟識別與依賴規則：flt_primality_complete_trial_or_actual_factor_not_Fermat_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original signed base=12;positive modulus=31;use nonnegative gcd inputs=[12, 31] 操作後 ALL Euclidean rows[left,right,q,r]=[[12, 31, 0, 12], [31, 12, 2, 7], [12, 7, 1, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal nonnegative gcd=1;coprime=是 條件：無 餘數替換保共同因數，最後非零值給gcd；base0也保gcd(0,m)=m。不把模數prime與base可逆當同一旗標。 步驟識別與依賴規則：flt_actual_gcd_coprime_separate_from_primality · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Fermat original signed base exact quotient := div(12, 31) 操作後 Fermat original signed base exact quotient = 12/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Fermat original signed base floor quotient multiple := mul(0, 31) 操作後 Fermat original signed base floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Fermat original signed base normalized remainder := sub(12, 0) 操作後 Fermat original signed base normalized remainder = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Fermat original signed base:signed integer value=12;positive modulus=31;exact quotient=12/31;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=12 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Fermat original modular exponent:original normalized base=12;original exponent=30;modulus=31 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=exponent;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to original power 條件：無 乘法單位元給0次方慣例；每步保持同一原始冪的同餘，不計龐大普通整數冪或混成實數等號。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_initial_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 current base square := mul(12, 12) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 current base square = 144 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient := div(144, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient = 144/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple := mul(4, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple = 124 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder := sub(144, 124) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction:signed integer value=144;positive modulus=31;exact quotient=144/31;floor q=4 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 12, 30];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 20, 15];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator product := mul(1, 20) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator product = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction exact quotient := div(20, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction exact quotient = 20/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction normalized remainder := sub(20, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction:signed integer value=20;positive modulus=31;exact quotient=20/31;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 current base square := mul(20, 20) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 current base square = 400 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient := div(400, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient = 400/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple := mul(12, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple = 372 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder := sub(400, 372) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder = 28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction:signed integer value=400;positive modulus=31;exact quotient=400/31;floor q=12 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=28 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 20, 15];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[20, 28, 7];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product := mul(20, 28) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product = 560 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient := div(560, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient = 560/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(18, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple = 558 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder := sub(560, 558) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction:signed integer value=560;positive modulus=31;exact quotient=560/31;floor q=18 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=2 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 current base square := mul(28, 28) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 current base square = 784 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient := div(784, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient = 784/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple := mul(25, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple = 775 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder := sub(784, 775) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction:signed integer value=784;positive modulus=31;exact quotient=784/31;floor q=25 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=9 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[20, 28, 7];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[2, 9, 3];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 accumulator product := mul(2, 9) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 accumulator product = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction exact quotient := div(18, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction exact quotient = 18/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction normalized remainder := sub(18, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction normalized remainder = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction:signed integer value=18;positive modulus=31;exact quotient=18/31;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=18 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 current base square := mul(9, 9) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 current base square = 81 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient := div(81, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient = 81/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple := mul(2, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple = 62 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder := sub(81, 62) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder = 19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction:signed integer value=81;positive modulus=31;exact quotient=81/31;floor q=2 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=19 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[2, 9, 3];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[18, 19, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product := mul(18, 19) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product = 342 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient := div(342, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient = 342/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(11, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple = 341 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder := sub(342, 341) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction:signed integer value=342;positive modulus=31;exact quotient=342/31;floor q=11 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 current base square := mul(19, 19) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 current base square = 361 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient := div(361, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient = 361/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple := mul(11, 31) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple = 341 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder := sub(361, 341) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction:signed integer value=361;positive modulus=31;exact quotient=361/31;floor q=11 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[18, 19, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 20, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 Fermat original modular exponent:remaining exponent0;final normalized accumulator=1 操作後 EXACT original base^30 modulo31=1 條件：無 不變式在remaining0時只剩accumulator，得到原始冪的確切餘數；這個算術結果本身不證模數prime。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_terminal_not_primality_converse · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Fermat actual unit inverse product := mul(12, 13) 操作後 Fermat actual unit inverse product = 156 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity exact quotient := div(156, 31) 操作後 Fermat actual inverse identity exact quotient = 156/31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple := mul(5, 31) 操作後 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple = 155 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity normalized remainder := sub(156, 155) 操作後 Fermat actual inverse identity normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 Fermat actual inverse identity:signed integer value=156;positive modulus=31;exact quotient=156/31;floor q=5 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,31) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 VERIFIED prime p=31;nonzero original base residue=12;ACTUAL inverse witness=13 操作後 multiplication r->a*r mod p permutes ALL nonzero residues1..p-1:inverse gives injectivity and finite self-injection gives surjectivity 條件：無 給出的真inverse讓相乘可取消，故非零residue集合上的乘a是雙射。這是任意residue的論證，不枚舉一百萬個點也不把幾個樣本當permutation證書。 步驟識別與依賴規則：flt_prime_unit_permutation_all_residues_not_samples · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 same verified prime p=31;ALL nonzero residues permuted by multiplication by a=12 操作後 product over r=1..p-1 gives a^(p-1)*(p-1)! congruent to (p-1)!;EVERY factor is a prime-field unit,so factorial is a UNIT;cancel ONLY this nonzero unit to obtain a^(p-1) congruent1 條件：無 質數模數下每個1到p−1都與p互質，故各有inverse，有限乘積也有反序inverse；因此可取消factorial而得Fermat互質形式。沒有對0取消，也沒有把此全體非零residue論證套到合數的非單位元。 步驟識別與依賴規則：flt_nonzero_factorial_unit_cancellation_not_zero_or_composite · 依賴：G001, S065 ## 逐步反向核對 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity normalized remainder，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity exact quotient，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual unit inverse product，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 current base square，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 current base square，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 accumulator product，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 current base square，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 current base square，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 current base square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base normalized remainder，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base exact quotient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (31, 12, 1, 是, prime_coprime_form) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 15f891884a1f5c49d837911c1300925fa4dd55bc194b9804ea0eb5809dc695d2 - candidate record SHA-256: 63cbd648b23d946541de95ca37ee939814f031e0a431f0c15642c1f6414f77fe - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0011.json)