# 第 19887 題：Fermat小定理 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0012) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19887 · q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0012 ## 原題與已知條件 exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-prime-coprime；資料={"p":37,"a":-13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-prime-coprime；資料={"p":37,"a":-13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fermat-little-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=flt-prime-coprime;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, normalized_base, power_p_minus_1, congruence_certificate, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ACTUAL integer modulus=37;complete trial range2..floor_sqrt=6 操作後 checked rows[divisor,quotient,remainder]=[[2, 18, 1], [3, 12, 1], [4, 9, 1], [5, 7, 2], [6, 6, 1]];first exact factor=null;prime=是 條件：無 若找到2到sqrt範圍的真因數就是合數見證。若全部試除無因數，任意合數分解必至少一因數≤sqrt，故排除全部合成情形；2的試除範圍空仍合法。不是以一次Fermat測試證prime。 步驟識別與依賴規則：flt_primality_complete_trial_or_actual_factor_not_Fermat_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original signed base=-13;positive modulus=37;use nonnegative gcd inputs=[13, 37] 操作後 ALL Euclidean rows[left,right,q,r]=[[13, 37, 0, 13], [37, 13, 2, 11], [13, 11, 1, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal nonnegative gcd=1;coprime=是 條件：無 餘數替換保共同因數，最後非零值給gcd；base0也保gcd(0,m)=m。不把模數prime與base可逆當同一旗標。 步驟識別與依賴規則：flt_actual_gcd_coprime_separate_from_primality · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Fermat original signed base exact quotient := div(-13, 37) 操作後 Fermat original signed base exact quotient = -13/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Fermat original signed base floor quotient multiple := mul(-1, 37) 操作後 Fermat original signed base floor quotient multiple = -37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Fermat original signed base normalized remainder := sub(-13, -37) 操作後 Fermat original signed base normalized remainder = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Fermat original signed base:signed integer value=-13;positive modulus=37;exact quotient=-13/37;floor q=-1 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=24 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Fermat original modular exponent:original normalized base=24;original exponent=36;modulus=37 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=exponent;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to original power 條件：無 乘法單位元給0次方慣例；每步保持同一原始冪的同餘，不計龐大普通整數冪或混成實數等號。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_initial_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 current base square := mul(24, 24) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 current base square = 576 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient := div(576, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient = 576/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple := mul(15, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple = 555 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder := sub(576, 555) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder = 21 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction:signed integer value=576;positive modulus=37;exact quotient=576/37;floor q=15 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=21 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 24, 36];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 21, 18];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 current base square := mul(21, 21) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 current base square = 441 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient := div(441, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient = 441/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple := mul(11, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple = 407 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder := sub(441, 407) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder = 34 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction:signed integer value=441;positive modulus=37;exact quotient=441/37;floor q=11 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=34 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 21, 18];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 34, 9];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product := mul(1, 34) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product = 34 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient := div(34, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient = 34/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder := sub(34, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder = 34 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction:signed integer value=34;positive modulus=37;exact quotient=34/37;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=34 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 current base square := mul(34, 34) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 current base square = 1156 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient := div(1156, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient = 1156/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple := mul(31, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple = 1147 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder := sub(1156, 1147) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction:signed integer value=1156;positive modulus=37;exact quotient=1156/37;floor q=31 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=9 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 34, 9];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[34, 9, 4];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 current base square := mul(9, 9) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 current base square = 81 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient := div(81, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient = 81/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple := mul(2, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple = 74 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder := sub(81, 74) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction:signed integer value=81;positive modulus=37;exact quotient=81/37;floor q=2 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=7 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[34, 9, 4];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[34, 7, 2];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 current base square := mul(7, 7) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 current base square = 49 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient := div(49, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient = 49/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple := mul(1, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple = 37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder := sub(49, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction:signed integer value=49;positive modulus=37;exact quotient=49/37;floor q=1 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=12 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[34, 7, 2];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[34, 12, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator product := mul(34, 12) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator product = 408 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction exact quotient := div(408, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction exact quotient = 408/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(11, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction floor quotient multiple = 407 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction normalized remainder := sub(408, 407) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction:signed integer value=408;positive modulus=37;exact quotient=408/37;floor q=11 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 current base square := mul(12, 12) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 current base square = 144 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient := div(144, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient = 144/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple := mul(3, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple = 111 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder := sub(144, 111) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder = 33 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction:signed integer value=144;positive modulus=37;exact quotient=144/37;floor q=3 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=33 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=5;previous[accumulator,base,exponent]=[34, 12, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 33, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 Fermat original modular exponent:remaining exponent0;final normalized accumulator=1 操作後 EXACT original base^36 modulo37=1 條件：無 不變式在remaining0時只剩accumulator，得到原始冪的確切餘數；這個算術結果本身不證模數prime。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_terminal_not_primality_converse · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Fermat actual unit inverse product := mul(24, 17) 操作後 Fermat actual unit inverse product = 408 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity exact quotient := div(408, 37) 操作後 Fermat actual inverse identity exact quotient = 408/37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple := mul(11, 37) 操作後 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple = 407 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity normalized remainder := sub(408, 407) 操作後 Fermat actual inverse identity normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 Fermat actual inverse identity:signed integer value=408;positive modulus=37;exact quotient=408/37;floor q=11 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,37) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 VERIFIED prime p=37;nonzero original base residue=24;ACTUAL inverse witness=17 操作後 multiplication r->a*r mod p permutes ALL nonzero residues1..p-1:inverse gives injectivity and finite self-injection gives surjectivity 條件：無 給出的真inverse讓相乘可取消，故非零residue集合上的乘a是雙射。這是任意residue的論證，不枚舉一百萬個點也不把幾個樣本當permutation證書。 步驟識別與依賴規則：flt_prime_unit_permutation_all_residues_not_samples · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 same verified prime p=37;ALL nonzero residues permuted by multiplication by a=24 操作後 product over r=1..p-1 gives a^(p-1)*(p-1)! congruent to (p-1)!;EVERY factor is a prime-field unit,so factorial is a UNIT;cancel ONLY this nonzero unit to obtain a^(p-1) congruent1 條件：無 質數模數下每個1到p−1都與p互質，故各有inverse，有限乘積也有反序inverse；因此可取消factorial而得Fermat互質形式。沒有對0取消，也沒有把此全體非零residue論證套到合數的非單位元。 步驟識別與依賴規則：flt_nonzero_factorial_unit_cancellation_not_zero_or_composite · 依賴：G001, S061 ## 逐步反向核對 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity normalized remainder，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity exact quotient，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual unit inverse product，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 current base square，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator product，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 current base square，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 current base square，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 current base square，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 current base square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 current base square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base normalized remainder，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base exact quotient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (37, 24, 1, 是, prime_coprime_form) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: be2af5158bd79dfe72009a5c0eb30390570b3838edd0dea4a77526744f1a0239 - candidate record SHA-256: 26d743e116870506aa35a2357285fbaa34337d4de296163223c7a19759f8351d - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0012.json)