# 第 19898 題：Fermat小定理 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0023) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19898 · q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0023 ## 原題與已知條件 exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-prime-coprime；資料={"p":83,"a":24}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-prime-coprime；資料={"p":83,"a":24}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fermat-little-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=flt-prime-coprime;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[p, normalized_base, power_p_minus_1, congruence_certificate, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ACTUAL integer modulus=83;complete trial range2..floor_sqrt=9 操作後 checked rows[divisor,quotient,remainder]=[[2, 41, 1], [3, 27, 2], [4, 20, 3], [5, 16, 3], [6, 13, 5], [7, 11, 6], [8, 10, 3], [9, 9, 2]];first exact factor=null;prime=是 條件：無 若找到2到sqrt範圍的真因數就是合數見證。若全部試除無因數，任意合數分解必至少一因數≤sqrt，故排除全部合成情形；2的試除範圍空仍合法。不是以一次Fermat測試證prime。 步驟識別與依賴規則：flt_primality_complete_trial_or_actual_factor_not_Fermat_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original signed base=24;positive modulus=83;use nonnegative gcd inputs=[24, 83] 操作後 ALL Euclidean rows[left,right,q,r]=[[24, 83, 0, 24], [83, 24, 3, 11], [24, 11, 2, 2], [11, 2, 5, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal nonnegative gcd=1;coprime=是 條件：無 餘數替換保共同因數，最後非零值給gcd；base0也保gcd(0,m)=m。不把模數prime與base可逆當同一旗標。 步驟識別與依賴規則：flt_actual_gcd_coprime_separate_from_primality · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Fermat original signed base exact quotient := div(24, 83) 操作後 Fermat original signed base exact quotient = 24/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Fermat original signed base floor quotient multiple := mul(0, 83) 操作後 Fermat original signed base floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Fermat original signed base normalized remainder := sub(24, 0) 操作後 Fermat original signed base normalized remainder = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Fermat original signed base:signed integer value=24;positive modulus=83;exact quotient=24/83;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=24 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Fermat original modular exponent:original normalized base=24;original exponent=82;modulus=83 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=exponent;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to original power 條件：無 乘法單位元給0次方慣例；每步保持同一原始冪的同餘，不計龐大普通整數冪或混成實數等號。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_initial_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 current base square := mul(24, 24) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 current base square = 576 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient := div(576, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient = 576/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple := mul(6, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple = 498 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder := sub(576, 498) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder = 78 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction:signed integer value=576;positive modulus=83;exact quotient=576/83;floor q=6 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=78 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 24, 82];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 78, 41];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator product := mul(1, 78) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator product = 78 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction exact quotient := div(78, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction exact quotient = 78/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction normalized remainder := sub(78, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction normalized remainder = 78 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction:signed integer value=78;positive modulus=83;exact quotient=78/83;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=78 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 current base square := mul(78, 78) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 current base square = 6084 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient := div(6084, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient = 6084/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple := mul(73, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple = 6059 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder := sub(6084, 6059) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder = 25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction:signed integer value=6084;positive modulus=83;exact quotient=6084/83;floor q=73 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=25 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 78, 41];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[78, 25, 20];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 current base square := mul(25, 25) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 current base square = 625 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient := div(625, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient = 625/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple := mul(7, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple = 581 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder := sub(625, 581) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder = 44 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction:signed integer value=625;positive modulus=83;exact quotient=625/83;floor q=7 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=44 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[78, 25, 20];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[78, 44, 10];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 current base square := mul(44, 44) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 current base square = 1936 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient := div(1936, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient = 1936/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple := mul(23, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple = 1909 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder := sub(1936, 1909) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder = 27 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction:signed integer value=1936;positive modulus=83;exact quotient=1936/83;floor q=23 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=27 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[78, 44, 10];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[78, 27, 5];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product := mul(78, 27) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product = 2106 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient := div(2106, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient = 2106/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(25, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple = 2075 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder := sub(2106, 2075) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder = 31 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction:signed integer value=2106;positive modulus=83;exact quotient=2106/83;floor q=25 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=31 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 current base square := mul(27, 27) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 current base square = 729 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient := div(729, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient = 729/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple := mul(8, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple = 664 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder := sub(729, 664) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder = 65 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction:signed integer value=729;positive modulus=83;exact quotient=729/83;floor q=8 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=65 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[78, 27, 5];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[31, 65, 2];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 current base square := mul(65, 65) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 current base square = 4225 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient := div(4225, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient = 4225/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple := mul(50, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple = 4150 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder := sub(4225, 4150) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder = 75 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction:signed integer value=4225;positive modulus=83;exact quotient=4225/83;floor q=50 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=75 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=5;previous[accumulator,base,exponent]=[31, 65, 2];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[31, 75, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 accumulator product := mul(31, 75) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 accumulator product = 2325 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction exact quotient := div(2325, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction exact quotient = 2325/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(28, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction floor quotient multiple = 2324 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction normalized remainder := sub(2325, 2324) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction:signed integer value=2325;positive modulus=83;exact quotient=2325/83;floor q=28 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 current base square := mul(75, 75) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 current base square = 5625 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction exact quotient := div(5625, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction exact quotient = 5625/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction floor quotient multiple := mul(67, 83) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction floor quotient multiple = 5561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction normalized remainder := sub(5625, 5561) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction normalized remainder = 64 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction:signed integer value=5625;positive modulus=83;exact quotient=5625/83;floor q=67 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=64 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=6;previous[accumulator,base,exponent]=[31, 75, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 64, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 Fermat original modular exponent:remaining exponent0;final normalized accumulator=1 操作後 EXACT original base^82 modulo83=1 條件：無 不變式在remaining0時只剩accumulator，得到原始冪的確切餘數；這個算術結果本身不證模數prime。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_terminal_not_primality_converse · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Fermat actual unit inverse product := mul(24, 45) 操作後 Fermat actual unit inverse product = 1080 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity exact quotient := div(1080, 83) 操作後 Fermat actual inverse identity exact quotient = 1080/83 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple := mul(13, 83) 操作後 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple = 1079 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Fermat actual inverse identity normalized remainder := sub(1080, 1079) 操作後 Fermat actual inverse identity normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 Fermat actual inverse identity:signed integer value=1080;positive modulus=83;exact quotient=1080/83;floor q=13 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,83) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 VERIFIED prime p=83;nonzero original base residue=24;ACTUAL inverse witness=45 操作後 multiplication r->a*r mod p permutes ALL nonzero residues1..p-1:inverse gives injectivity and finite self-injection gives surjectivity 條件：無 給出的真inverse讓相乘可取消，故非零residue集合上的乘a是雙射。這是任意residue的論證，不枚舉一百萬個點也不把幾個樣本當permutation證書。 步驟識別與依賴規則：flt_prime_unit_permutation_all_residues_not_samples · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 same verified prime p=83;ALL nonzero residues permuted by multiplication by a=24 操作後 product over r=1..p-1 gives a^(p-1)*(p-1)! congruent to (p-1)!;EVERY factor is a prime-field unit,so factorial is a UNIT;cancel ONLY this nonzero unit to obtain a^(p-1) congruent1 條件：無 質數模數下每個1到p−1都與p互質，故各有inverse，有限乘積也有反序inverse；因此可取消factorial而得Fermat互質形式。沒有對0取消，也沒有把此全體非零residue論證套到合數的非單位元。 步驟識別與依賴規則：flt_nonzero_factorial_unit_cancellation_not_zero_or_composite · 依賴：G001, S072 ## 逐步反向核對 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity normalized remainder，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual inverse identity exact quotient，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat actual unit inverse product，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 current base square，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 accumulator product，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 current base square，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 current base square，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 current base square，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 current base square，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 current base square，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 accumulator product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 current base square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base normalized remainder，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base exact quotient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (83, 24, 1, 是, prime_coprime_form) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0b927da0e0774160f0be1e76beee236f9898ba7be82e283ec5f329c9cd768b61 - candidate record SHA-256: 7c637599ed13bf84d912921a100d23dd5a6322afa289d96369d0ca393a2bc707 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0023.json)