# 第 19869 題：Fermat小定理 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0069) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19869 · q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0069 ## 原題與已知條件 exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-hypothesis-audit；資料={"modulus":22,"a":20}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-hypothesis-audit；資料={"modulus":22,"a":20}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fermat-little-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=flt-hypothesis-audit;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[modulus, original_base, prime, coprime, coprime_form_applicable, power_modulus_minus_1, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ACTUAL integer modulus=22;complete trial range2..floor_sqrt=4 操作後 checked rows[divisor,quotient,remainder]=[[2, 11, 0]];first exact factor=2;prime=否 條件：無 若找到2到sqrt範圍的真因數就是合數見證。若全部試除無因數，任意合數分解必至少一因數≤sqrt，故排除全部合成情形；2的試除範圍空仍合法。不是以一次Fermat測試證prime。 步驟識別與依賴規則：flt_primality_complete_trial_or_actual_factor_not_Fermat_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original signed base=20;positive modulus=22;use nonnegative gcd inputs=[20, 22] 操作後 ALL Euclidean rows[left,right,q,r]=[[20, 22, 0, 20], [22, 20, 1, 2], [20, 2, 10, 0]];terminal nonnegative gcd=2;coprime=否 條件：無 餘數替換保共同因數，最後非零值給gcd；base0也保gcd(0,m)=m。不把模數prime與base可逆當同一旗標。 步驟識別與依賴規則：flt_actual_gcd_coprime_separate_from_primality · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Fermat original signed base exact quotient := div(20, 22) 操作後 Fermat original signed base exact quotient = 10/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Fermat original signed base floor quotient multiple := mul(0, 22) 操作後 Fermat original signed base floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Fermat original signed base normalized remainder := sub(20, 0) 操作後 Fermat original signed base normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Fermat original signed base:signed integer value=20;positive modulus=22;exact quotient=10/11;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Fermat original modular exponent:original normalized base=20;original exponent=21;modulus=22 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=exponent;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to original power 條件：無 乘法單位元給0次方慣例；每步保持同一原始冪的同餘，不計龐大普通整數冪或混成實數等號。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_initial_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 accumulator product := mul(1, 20) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 accumulator product = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction exact quotient := div(20, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction exact quotient = 10/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction normalized remainder := sub(20, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction:signed integer value=20;positive modulus=22;exact quotient=10/11;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 current base square := mul(20, 20) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 current base square = 400 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient := div(400, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient = 200/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple := mul(18, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple = 396 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder := sub(400, 396) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction:signed integer value=400;positive modulus=22;exact quotient=200/11;floor q=18 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=4 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 20, 21];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[20, 4, 10];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 current base square := mul(4, 4) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 current base square = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient := div(16, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient = 8/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple := mul(0, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder := sub(16, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction:signed integer value=16;positive modulus=22;exact quotient=8/11;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=16 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[20, 4, 10];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[20, 16, 5];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product := mul(20, 16) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product = 320 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient := div(320, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient = 160/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(14, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple = 308 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder := sub(320, 308) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction:signed integer value=320;positive modulus=22;exact quotient=160/11;floor q=14 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=12 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 current base square := mul(16, 16) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 current base square = 256 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient := div(256, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient = 128/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple := mul(11, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple = 242 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder := sub(256, 242) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder = 14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction:signed integer value=256;positive modulus=22;exact quotient=128/11;floor q=11 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=14 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S034 S036 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[20, 16, 5];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[12, 14, 2];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 current base square := mul(14, 14) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 current base square = 196 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient := div(196, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient = 98/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple := mul(8, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple = 176 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder := sub(196, 176) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction:signed integer value=196;positive modulus=22;exact quotient=98/11;floor q=8 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[12, 14, 2];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[12, 20, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product := mul(12, 20) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product = 240 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient := div(240, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient = 120/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(10, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple = 220 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder := sub(240, 220) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction:signed integer value=240;positive modulus=22;exact quotient=120/11;floor q=10 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=20 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 current base square := mul(20, 20) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 current base square = 400 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient := div(400, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient = 200/11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple := mul(18, 22) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple = 396 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder := sub(400, 396) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction:signed integer value=400;positive modulus=22;exact quotient=200/11;floor q=18 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=4 in[0,22) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[12, 20, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[20, 4, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 Fermat original modular exponent:remaining exponent0;final normalized accumulator=20 操作後 EXACT original base^21 modulo22=20 條件：無 不變式在remaining0時只剩accumulator，得到原始冪的確切餘數；這個算術結果本身不證模數prime。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_terminal_not_primality_converse · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 ACTUAL modulus=22;ORIGINAL signed base=20;prime=否;coprime=否;actual power residue=20 操作後 prime-coprime applicability=否;failed hypotheses do NOT force actual residue!=1;one successful residue does NOT prove prime 條件：無 joint flag是兩個前提的合取，不是把算出的冪與1比較。合數也可能對某個base得到1；不適用不等於算術一定失敗，算術通過也不等於prime。 步驟識別與依賴規則：flt_applicability_not_actual_power_failure_or_converse · 依賴：G001, S054 ## 逐步反向核對 - S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 current base square，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 current base square，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 current base square，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 accumulator product，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 current base square，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 current base square，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 accumulator product，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base normalized remainder，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base exact quotient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (22, 20, 否, 否, 否, 20, coprime_form_not_applicable_without_both_hypotheses) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 936c6da6b8efe4cc440cb965141523c6d26b605a169f1028a98d29e9e36b92bb - candidate record SHA-256: aca13ad8fbbb86bbecf5e5767318df7ed970169c19126e82ba5d811505fb96b5 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0069.json)