# 第 19845 題：Fermat小定理 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0095) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19845 · q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0095 ## 原題與已知條件 exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-converse-counterexample；資料={"modulus":561,"a":37}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact modular exponentiation與明示prime或composite hypotheses。操作=flt-converse-counterexample；資料={"modulus":561,"a":37}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-fermat-little-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-fermat-little-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=flt-converse-counterexample;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[modulus, base, prime, coprime, power_modulus_minus_1, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ACTUAL integer modulus=561;complete trial range2..floor_sqrt=23 操作後 checked rows[divisor,quotient,remainder]=[[2, 280, 1], [3, 187, 0]];first exact factor=3;prime=否 條件：無 若找到2到sqrt範圍的真因數就是合數見證。若全部試除無因數，任意合數分解必至少一因數≤sqrt，故排除全部合成情形；2的試除範圍空仍合法。不是以一次Fermat測試證prime。 步驟識別與依賴規則：flt_primality_complete_trial_or_actual_factor_not_Fermat_test · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 original signed base=37;positive modulus=561;use nonnegative gcd inputs=[37, 561] 操作後 ALL Euclidean rows[left,right,q,r]=[[37, 561, 0, 37], [561, 37, 15, 6], [37, 6, 6, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal nonnegative gcd=1;coprime=是 條件：無 餘數替換保共同因數，最後非零值給gcd；base0也保gcd(0,m)=m。不把模數prime與base可逆當同一旗標。 步驟識別與依賴規則：flt_actual_gcd_coprime_separate_from_primality · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Fermat original signed base exact quotient := div(37, 561) 操作後 Fermat original signed base exact quotient = 37/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Fermat original signed base floor quotient multiple := mul(0, 561) 操作後 Fermat original signed base floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Fermat original signed base normalized remainder := sub(37, 0) 操作後 Fermat original signed base normalized remainder = 37 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Fermat original signed base:signed integer value=37;positive modulus=561;exact quotient=37/561;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=37 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Fermat original modular exponent:original normalized base=37;original exponent=560;modulus=561 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=exponent;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to original power 條件：無 乘法單位元給0次方慣例；每步保持同一原始冪的同餘，不計龐大普通整數冪或混成實數等號。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_initial_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 current base square := mul(37, 37) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 current base square = 1369 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient := div(1369, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient = 1369/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple := mul(2, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple = 1122 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder := sub(1369, 1122) 操作後 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder = 247 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction:signed integer value=1369;positive modulus=561;exact quotient=1369/561;floor q=2 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=247 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 37, 560];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 247, 280];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 current base square := mul(247, 247) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 current base square = 61009 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient := div(61009, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient = 61009/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple := mul(108, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple = 60588 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder := sub(61009, 60588) 操作後 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder = 421 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction:signed integer value=61009;positive modulus=561;exact quotient=61009/561;floor q=108 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=421 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 247, 280];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 421, 140];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 current base square := mul(421, 421) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 current base square = 177241 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient := div(177241, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient = 177241/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple := mul(315, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple = 176715 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder := sub(177241, 176715) 操作後 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder = 526 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction:signed integer value=177241;positive modulus=561;exact quotient=177241/561;floor q=315 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=526 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 421, 140];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 526, 70];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 current base square := mul(526, 526) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 current base square = 276676 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient := div(276676, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient = 276676/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple := mul(493, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple = 276573 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder := sub(276676, 276573) 操作後 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder = 103 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction:signed integer value=276676;positive modulus=561;exact quotient=276676/561;floor q=493 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=103 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 526, 70];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 103, 35];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product := mul(1, 103) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product = 103 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient := div(103, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient = 103/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder := sub(103, 0) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder = 103 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction:signed integer value=103;positive modulus=561;exact quotient=103/561;floor q=0 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=103 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 current base square := mul(103, 103) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 current base square = 10609 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient := div(10609, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient = 10609/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple := mul(18, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple = 10098 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder := sub(10609, 10098) 操作後 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder = 511 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction:signed integer value=10609;positive modulus=561;exact quotient=10609/561;floor q=18 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=511 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 103, 35];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[103, 511, 17];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator product := mul(103, 511) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator product = 52633 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction exact quotient := div(52633, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction exact quotient = 52633/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(93, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction floor quotient multiple = 52173 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction normalized remainder := sub(52633, 52173) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction normalized remainder = 460 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction:signed integer value=52633;positive modulus=561;exact quotient=52633/561;floor q=93 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=460 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 current base square := mul(511, 511) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 current base square = 261121 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient := div(261121, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient = 261121/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple := mul(465, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple = 260865 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder := sub(261121, 260865) 操作後 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder = 256 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction:signed integer value=261121;positive modulus=561;exact quotient=261121/561;floor q=465 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=256 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=5;previous[accumulator,base,exponent]=[103, 511, 17];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[460, 256, 8];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 current base square := mul(256, 256) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 current base square = 65536 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction exact quotient := div(65536, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction exact quotient = 65536/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction floor quotient multiple := mul(116, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction floor quotient multiple = 65076 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction normalized remainder := sub(65536, 65076) 操作後 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction normalized remainder = 460 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction:signed integer value=65536;positive modulus=561;exact quotient=65536/561;floor q=116 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=460 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=6;previous[accumulator,base,exponent]=[460, 256, 8];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[460, 460, 4];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit7 current base square := mul(460, 460) 操作後 Fermat original modular exponent bit7 current base square = 211600 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction exact quotient := div(211600, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction exact quotient = 211600/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction floor quotient multiple := mul(377, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction floor quotient multiple = 211497 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction normalized remainder := sub(211600, 211497) 操作後 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction normalized remainder = 103 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction:signed integer value=211600;positive modulus=561;exact quotient=211600/561;floor q=377 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=103 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=7;previous[accumulator,base,exponent]=[460, 460, 4];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[460, 103, 2];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit8 current base square := mul(103, 103) 操作後 Fermat original modular exponent bit8 current base square = 10609 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction exact quotient := div(10609, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction exact quotient = 10609/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction floor quotient multiple := mul(18, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction floor quotient multiple = 10098 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction normalized remainder := sub(10609, 10098) 操作後 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction normalized remainder = 511 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction:signed integer value=10609;positive modulus=561;exact quotient=10609/561;floor q=18 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=511 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=8;previous[accumulator,base,exponent]=[460, 103, 2];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[460, 511, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 accumulator product := mul(460, 511) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 accumulator product = 235060 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction exact quotient := div(235060, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction exact quotient = 235060/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(419, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction floor quotient multiple = 235059 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction normalized remainder := sub(235060, 235059) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction:signed integer value=235060;positive modulus=561;exact quotient=235060/561;floor q=419 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=1 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 current base square := mul(511, 511) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 current base square = 261121 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction exact quotient := div(261121, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction exact quotient = 261121/561 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction floor quotient multiple := mul(465, 561) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction floor quotient multiple = 260865 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction normalized remainder := sub(261121, 260865) 操作後 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction normalized remainder = 256 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction:signed integer value=261121;positive modulus=561;exact quotient=261121/561;floor q=465 操作後 value=q*modulus+remainder;normalized remainder=256 in[0,561) 條件：無 用正模數與向下整數商核實同餘類，負base也得到非負代表。餘數相等是mod此數的同餘，不是原整數都相等。 步驟識別與依賴規則：flt_exact_signed_modulo_not_integer_equality · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 Fermat original modular exponent:step=9;previous[accumulator,base,exponent]=[460, 511, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 256, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 偶次方換成平方底數，奇次方多取一個底數進accumulator；每次合法取模保同餘，剩餘非負exponent減半故終止。 步驟識別與依賴規則：flt_each_binary_power_step_exact_invariant · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 Fermat original modular exponent:remaining exponent0;final normalized accumulator=1 操作後 EXACT original base^560 modulo561=1 條件：無 不變式在remaining0時只剩accumulator，得到原始冪的確切餘數；這個算術結果本身不證模數prime。 步驟識別與依賴規則：flt_modular_power_terminal_not_primality_converse · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 ACTUAL composite modulus=561 certified by a trial factor;ORIGINAL base=37 coprime;computed a^(m-1) modulo m=1 操作後 THIS chosen composite/base pair passes the Fermat power test,but modulus is NOT prime;counterexample to converse ONLY 條件：無 這組明確合數與互質底數滿足測試，足以反駁『通過就一定prime』。不聲稱每個合數或所有底數都通過，也不反駁有prime前提的Fermat定理。 步驟識別與依賴規則：flt_composite_passing_chosen_base_not_all_bases_or_theorem_failure · 依賴：G001, S084 ## 逐步反向核對 - S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 current base square，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit9 accumulator product，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit8 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit8 current base square，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit7 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit7 current base square，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit6 current base square，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 current base square，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit5 accumulator product，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 current base square，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit4 accumulator product，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit3 current base square，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit2 current base square，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit1 current base square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 squared base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original modular exponent bit0 current base square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base normalized remainder，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Fermat original signed base exact quotient，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (561, 37, 否, 是, 1, converse_false_composite_can_pass_Fermat_test) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: f392a0d98f20d5d13f086274b93a9fb7fe33ec8379ec709027ff34e935fa158e - candidate record SHA-256: ed380cca6c170210d9ba4033899af4819b27902ea32637dc78f3a178e6dc2907 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r05-fermat-little-theorem-0095.json)