# 第 19693 題：線性Diophantine方程 [返回所在分頁 99](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/99/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r06-linear-diophantine-equation-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r06-linear-diophantine-equation-0018) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19693 · q-20261014-advance-20261106-r06-linear-diophantine-equation-0018 ## 原題與已知條件 exact integer coefficients、normalized gcd與extended Euclidean證書。操作=dioph-solvability；資料={"a":-114,"b":171,"c":115}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — exact integer coefficients、normalized gcd與extended Euclidean證書。操作=dioph-solvability；資料={"a":-114,"b":171,"c":115}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-linear-diophantine-equation](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-linear-diophantine-equation/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=dioph-solvability;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[a, b, c, gcd, both_coefficients_zero, solvable, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL signed coefficients a=-114,b=171 操作後 start exact Euclidean chain on absolute values=[114, 171];nonnegative gcd;source deterministic coefficient recurrence 條件：無 gcd以非負慣例計在abs(a),abs(b)，但Bézout最後要還原原符號。來源固定這條extended chain的係數，不能換另一組數值正確卻不同的答案。 步驟識別與依賴規則：dioph_original_signs_deterministic_extended_chain · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 exact ratio := div(114, 171) 操作後 Dioph Euclid step0 exact ratio = 2/3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 divisor multiple := mul(0, 171) 操作後 Dioph Euclid step0 divisor multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 remainder := sub(114, 0) 操作後 Dioph Euclid step0 remainder = 114 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 first coefficient multiple := mul(0, 0) 操作後 Dioph Euclid step0 first coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 first coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 Dioph Euclid step0 first coefficient difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 second coefficient multiple := mul(0, 1) 操作後 Dioph Euclid step0 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Dioph Euclid step0 second coefficient difference := sub(0, 0) 操作後 Dioph Euclid step0 second coefficient difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 step=0;positive divisor=171;old pair=[114, 171];exact ratio=2/3;floor quotient=0;old coefficient pairs=[[1, 0], [0, 1]] 操作後 next remainder=114 in[0,171);next signed absolute-input coefficients=[1, 0];common divisor set unchanged 條件：無 left−q·right保與right同一公因數集，同一q更新兩個係數保abs(a)·s+abs(b)·t等餘數。下一餘數非負且嚴格小於正divisor，故終止，且從不除以0。 步驟識別與依賴規則：dioph_every_extended_step_invariant_and_descent · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 exact ratio := div(171, 114) 操作後 Dioph Euclid step1 exact ratio = 3/2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 divisor multiple := mul(1, 114) 操作後 Dioph Euclid step1 divisor multiple = 114 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 remainder := sub(171, 114) 操作後 Dioph Euclid step1 remainder = 57 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 first coefficient multiple := mul(1, 1) 操作後 Dioph Euclid step1 first coefficient multiple = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 first coefficient difference := sub(0, 1) 操作後 Dioph Euclid step1 first coefficient difference = -1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 second coefficient multiple := mul(1, 0) 操作後 Dioph Euclid step1 second coefficient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Dioph Euclid step1 second coefficient difference := sub(1, 0) 操作後 Dioph Euclid step1 second coefficient difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 step=1;positive divisor=114;old pair=[171, 114];exact ratio=3/2;floor quotient=1;old coefficient pairs=[[0, 1], [1, 0]] 操作後 next remainder=57 in[0,114);next signed absolute-input coefficients=[-1, 1];common divisor set unchanged 條件：無 left−q·right保與right同一公因數集，同一q更新兩個係數保abs(a)·s+abs(b)·t等餘數。下一餘數非負且嚴格小於正divisor，故終止，且從不除以0。 步驟識別與依賴規則：dioph_every_extended_step_invariant_and_descent · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 exact ratio := div(114, 57) 操作後 Dioph Euclid step2 exact ratio = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 divisor multiple := mul(2, 57) 操作後 Dioph Euclid step2 divisor multiple = 114 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 remainder := sub(114, 114) 操作後 Dioph Euclid step2 remainder = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 first coefficient multiple := mul(2, -1) 操作後 Dioph Euclid step2 first coefficient multiple = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 first coefficient difference := sub(1, -2) 操作後 Dioph Euclid step2 first coefficient difference = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 second coefficient multiple := mul(2, 1) 操作後 Dioph Euclid step2 second coefficient multiple = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Dioph Euclid step2 second coefficient difference := sub(0, 2) 操作後 Dioph Euclid step2 second coefficient difference = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 step=2;positive divisor=57;old pair=[114, 57];exact ratio=2;floor quotient=2;old coefficient pairs=[[1, 0], [-1, 1]] 操作後 next remainder=0 in[0,57);next signed absolute-input coefficients=[3, -2];common divisor set unchanged 條件：無 left−q·right保與right同一公因數集，同一q更新兩個係數保abs(a)·s+abs(b)·t等餘數。下一餘數非負且嚴格小於正divisor，故終止，且從不除以0。 步驟識別與依賴規則：dioph_every_extended_step_invariant_and_descent · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Dioph restore original a sign := mul(-1, -1) 操作後 Dioph restore original a sign = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Dioph restore original b sign := mul(1, 1) 操作後 Dioph restore original b sign = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Dioph ORIGINAL a times Bezout x := mul(-114, 1) 操作後 Dioph ORIGINAL a times Bezout x = -114 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Dioph ORIGINAL b times Bezout y := mul(171, 1) 操作後 Dioph ORIGINAL b times Bezout y = 171 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Dioph original signed Bezout identity := sum(-114, 171) 操作後 Dioph original signed Bezout identity = 57 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 complete exact chain=[[114, 171, 0, 114], [171, 114, 1, 57], [114, 57, 2, 0]];terminal pair=[57, 0];sign-restored x=1,y=1 操作後 a*x+b*y=57=nonnegative gcd d=57;gcd from invariance and terminal gcd(d,0)=d 條件：無 最後一個非零餘數是gcd，原符號代回再核a*x+b*y=d。a或b一個為0也保同一邊界，不新增除以0的一列。 步驟識別與依賴規則：dioph_terminal_gcd_and_original_signed_identity · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 Dioph target divided by positive gcd := div(115, 57) 操作後 Dioph target divided by positive gcd = 115/57 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 ACTUAL original equation-114*x+171*y=115;positive gcd=57;exact c/d=115/57;Bezout coefficients=[1, 1] 操作後 d divides both coefficients,so ANY integer solution requires d divides c;conversely integer c/d scales Bezout to a solution;solvable=否 條件：無 必要性由gcd整除任意整數線性組合；充分性由已給Bézout等式乘c/d。非整數商是全體整數解的障礙，不是搜尋有限範圍沒找到。 步驟識別與依賴規則：dioph_gcd_divisibility_iff_not_finite_search · 依賴：G001, S033 ## 逐步反向核對 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph target divided by positive gcd，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph original signed Bezout identity，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph ORIGINAL b times Bezout y，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph ORIGINAL a times Bezout x，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph restore original b sign，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph restore original a sign，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 remainder，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step2 exact ratio，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 remainder，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step1 exact ratio，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 second coefficient difference，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 second coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 first coefficient difference，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 first coefficient multiple，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 remainder，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 divisor multiple，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Dioph Euclid step0 exact ratio，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-114, 171, 115, 57, 否, 否, gcd_divides_c_iff_integer_solution) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: e9d7893fcd920f51ddd998ae3b52c80ae0ce422b97d1d7992bc4988ced2bbe02 - candidate record SHA-256: 3c1ef1449104b37410dcd9bfa0774c604fa0235a0dcb72f5cced72261f5b4ea5 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r06-linear-diophantine-equation-0018.json)