# 第 19910 題：商向量空間 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0010) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19910 · q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0010 ## 原題與已知條件 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-coset-equivalence；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,10,0]],"v":[11,2,3],"u":[13,22,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-coset-equivalence；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,10,0]],"v":[11,2,3],"u":[13,22,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quotient-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quotient-coset-equivalence;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[difference, equivalent, criterion, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1], [10], [0]];rows=3;columns=1 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1] 操作後 normalized FULL row=[1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(10, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(10, 10) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:target row=1;old row=[10];subtract factor=10 times FULL pivot row=[1] 操作後 new exact FULL row=[0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ACTUAL ambient real space R^3;complete ORIGINAL independent basis columns of W=[[1, 10, 0]] 操作後 W is the FULL real span of these columns;dim W=1;zero coset is the WHOLE subspace W,not the vector0 alone 條件：無 完整basis的獨立性逐精確rank核過，所以數量是dimW；列表不是W所有元素。空basis代表W={0}，零coset仍是集合W，不把商元素與某一代表向量混型。 步驟識別與依賴規則：quotient_declared_subspace_full_real_span_zero_coset · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 quotient ORIGINAL v minus u coordinate0 := sub(11, 13) 操作後 quotient ORIGINAL v minus u coordinate0 = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 quotient ORIGINAL v minus u coordinate1 := sub(2, 22) 操作後 quotient ORIGINAL v minus u coordinate1 = -20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 quotient ORIGINAL v minus u coordinate2 := sub(3, 3) 操作後 quotient ORIGINAL v minus u coordinate2 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 quotient coset original difference membership:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, -2], [10, -20], [0, 0]];rows=3;columns=2 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 quotient coset original difference membership pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient coset original difference membership pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 quotient coset original difference membership pivot0 column0 normalized entry1 := div(-2, 1) 操作後 quotient coset original difference membership pivot0 column0 normalized entry1 = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 quotient coset original difference membership:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, -2] 操作後 normalized FULL row=[1, -2] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(10, 1) 操作後 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(10, 10) 操作後 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(10, -2) 操作後 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product = -20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(-20, -20) 操作後 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 quotient coset original difference membership:target row=1;old row=[10, -20];subtract factor=10 times FULL pivot row=[1, -2] 操作後 new exact FULL row=[0, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 quotient coset original difference membership:column=1;remaining exact entries=[0, 0] 操作後 no pivot added;current rank=1 條件：無 剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。 步驟識別與依賴規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 quotient coset original difference membership:complete exact reduced matrix=[[1, -2], [0, 0], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 quotient coset original difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, -2) 操作後 quotient coset original difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 quotient coset original difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(-2) 操作後 quotient coset original difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 quotient coset original difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(10, -2) 操作後 quotient coset original difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = -20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 quotient coset original difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(-20) 操作後 quotient coset original difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum = -20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 quotient coset original difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, -2) 操作後 quotient coset original difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 quotient coset original difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0) 操作後 quotient coset original difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 quotient coset original difference membership:original proposed vector=[-2, -20, 0];original ordered independent columns=[[1, 10, 0]];complete reduced augmented system=[[1, -2], [0, 0], [0, 0]] 操作後 exact real-span coefficient witness=[-2];FULL original reconstruction=[-2, -20, 0];membership=是 條件：無 主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 ORIGINAL v=[11, 2, 3],u=[13, 22, 3];ORDERED difference v-u=[-2, -20, 0];full-real-span membership=是 操作後 v+W=u+W iff v-u in W;coset equality=是;not a test of representative vector equality 條件：無 若cosets相等，v=v+0也在u+W，故v−u在W。反之v−u在W時，v+w=u+(v−u+w)落u+W，反向用其負值亦成立，兩集合相等。差可非0，不要求代表向量相等。 步驟識別與依賴規則：quotient_coset_equality_both_inclusions_not_representative_equality · 依賴：G001, S030 ## 逐步反向核對 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient coset original difference membership pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL v minus u coordinate2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL v minus u coordinate1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL v minus u coordinate0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([-2, -20, 0], 是, v_plus_W_equals_u_plus_W_iff_difference_in_W, quotient_elements_are_cosets_not_unique_representatives) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 7d4a4cc3b171f0041ff4d59a9ffa214966bf4ba53826f93a03b9e48543c18ae8 - candidate record SHA-256: ecd013161c6a2432d012148531f3b01c74314a5c60cf3b1ae673923a5502bce8 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0010.json)