# 第 19931 題：商向量空間 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0031) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19931 · q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0031 ## 原題與已知條件 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-coset-operations；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,6,0]],"v":[7,2,3],"u":[3,6,4],"scalar":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-coset-operations；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,6,0]],"v":[7,2,3],"u":[3,6,4],"scalar":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quotient-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quotient-coset-operations;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[sum_representative, scalar_representative, addition_law, scalar_law, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1], [6], [0]];rows=3;columns=1 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1] 操作後 normalized FULL row=[1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(6, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(6, 6) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:target row=1;old row=[6];subtract factor=6 times FULL pivot row=[1] 操作後 new exact FULL row=[0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ACTUAL ambient real space R^3;complete ORIGINAL independent basis columns of W=[[1, 6, 0]] 操作後 W is the FULL real span of these columns;dim W=1;zero coset is the WHOLE subspace W,not the vector0 alone 條件：無 完整basis的獨立性逐精確rank核過，所以數量是dimW；列表不是W所有元素。空basis代表W={0}，零coset仍是集合W，不把商元素與某一代表向量混型。 步驟識別與依賴規則：quotient_declared_subspace_full_real_span_zero_coset · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ACTUAL subspace W full real span in R^3;original basis=[[1, 6, 0]] 操作後 for ANY representatives v'=v+w,u'=u+z with w,z in W,and ANY real lambda,sum difference=w+z in W and scalar difference=lambda*w in W;thus quotient addition/scaling independent of representatives 條件：無 子空間對加法、負號與任意實純量封閉，故任意代表替換的差都留W。這是全稱良定性，不只驗幾個指定shift。商元素是coset；一般代表不唯一，W={0}特例可唯一，但也不把集合coset與向量型別混同。 步驟識別與依賴規則：quotient_arbitrary_representatives_well_defined_both_operations · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 quotient sum representative coordinate0 := sum(7, 3) 操作後 quotient sum representative coordinate0 = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 quotient sum representative coordinate1 := sum(2, 6) 操作後 quotient sum representative coordinate1 = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 quotient sum representative coordinate2 := sum(3, 4) 操作後 quotient sum representative coordinate2 = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 quotient scaled representative coordinate0 := mul(6, 7) 操作後 quotient scaled representative coordinate0 = 42 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 quotient scaled representative coordinate1 := mul(6, 2) 操作後 quotient scaled representative coordinate1 = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 quotient scaled representative coordinate2 := mul(6, 3) 操作後 quotient scaled representative coordinate2 = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL representatives v=[7, 2, 3],u=[3, 6, 4];original real scalar=6 操作後 reported representative vectors v+u=[10, 8, 7],lambda*v=[42, 12, 18];resulting objects are their cosets,not a selected generic unique vector name 條件：無 前兩欄保確切代表向量值，後兩條law給其商coset運算。沒有引進一個canonical representative選取器；零商元素仍是整個W。 步驟識別與依賴規則：quotient_operation_representatives_not_coset_object_identity · 依賴：G001, S016 ## 逐步反向核對 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient scaled representative coordinate2，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient scaled representative coordinate1，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient scaled representative coordinate0，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient sum representative coordinate2，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient sum representative coordinate1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient sum representative coordinate0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([10, 8, 7], [42, 12, 18], [v]+[u]=[v+u], lambda[v]=[lambda v], representatives_only_not_unique_quotient_elements) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 9011317e8aa24b187728375755055c959d62ca1a6372b2c04448867dc64ca45d - candidate record SHA-256: 60c5c52caf55ba2dcafb82068f0aa11e7c94b5064df6c35999d28c705ab1958d - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0031.json)