# 第 19980 題：商向量空間 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0055) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19980 · q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0055 ## 原題與已知條件 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-representative-independence；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,5,0]],"v":[6,2,3],"u":[3,5,4],"shift_v_coefficients":[6],"shift_u_coefficients":[-5],"scalar":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-representative-independence；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,5,0]],"v":[6,2,3],"u":[3,5,4],"shift_v_coefficients":[6],"shift_u_coefficients":[-5],"scalar":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quotient-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quotient-representative-independence;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[shift_v_in_w, shift_u_in_w, sum_difference_in_w, scalar_difference_in_w, well_defined_certificate, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1], [5], [0]];rows=3;columns=1 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1] 操作後 normalized FULL row=[1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(5, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(5, 5) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:target row=1;old row=[5];subtract factor=5 times FULL pivot row=[1] 操作後 new exact FULL row=[0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ACTUAL ambient real space R^3;complete ORIGINAL independent basis columns of W=[[1, 5, 0]] 操作後 W is the FULL real span of these columns;dim W=1;zero coset is the WHOLE subspace W,not the vector0 alone 條件：無 完整basis的獨立性逐精確rank核過，所以數量是dimW；列表不是W所有元素。空basis代表W={0}，零coset仍是集合W，不把商元素與某一代表向量混型。 步驟識別與依賴規則：quotient_declared_subspace_full_real_span_zero_coset · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ACTUAL subspace W full real span in R^3;original basis=[[1, 5, 0]] 操作後 for ANY representatives v'=v+w,u'=u+z with w,z in W,and ANY real lambda,sum difference=w+z in W and scalar difference=lambda*w in W;thus quotient addition/scaling independent of representatives 條件：無 子空間對加法、負號與任意實純量封閉，故任意代表替換的差都留W。這是全稱良定性，不只驗幾個指定shift。商元素是coset；一般代表不唯一，W={0}特例可唯一，但也不把集合coset與向量型別混同。 步驟識別與依賴規則：quotient_arbitrary_representatives_well_defined_both_operations · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 quotient original v shift original coordinate0 coefficient0 product := mul(1, 6) 操作後 quotient original v shift original coordinate0 coefficient0 product = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 quotient original v shift original coordinate0 complete sum := sum(6) 操作後 quotient original v shift original coordinate0 complete sum = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 quotient original v shift original coordinate1 coefficient0 product := mul(5, 6) 操作後 quotient original v shift original coordinate1 coefficient0 product = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 quotient original v shift original coordinate1 complete sum := sum(30) 操作後 quotient original v shift original coordinate1 complete sum = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 quotient original v shift original coordinate2 coefficient0 product := mul(0, 6) 操作後 quotient original v shift original coordinate2 coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 quotient original v shift original coordinate2 complete sum := sum(0) 操作後 quotient original v shift original coordinate2 complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 quotient original v shift:ORIGINAL W basis order=[[1, 5, 0]];aligned coefficient block=[6] 操作後 computed whole vector=[6, 30, 0];a real linear combination in W by its declared span 條件：無 係數與原basis欄一一對齊，semantic排序不調換位置；完整線性組合本身就是W內見證。 步驟識別與依賴規則：quotient_original_basis_coefficients_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 quotient original u shift original coordinate0 coefficient0 product := mul(1, -5) 操作後 quotient original u shift original coordinate0 coefficient0 product = -5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 quotient original u shift original coordinate0 complete sum := sum(-5) 操作後 quotient original u shift original coordinate0 complete sum = -5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 quotient original u shift original coordinate1 coefficient0 product := mul(5, -5) 操作後 quotient original u shift original coordinate1 coefficient0 product = -25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 quotient original u shift original coordinate1 complete sum := sum(-25) 操作後 quotient original u shift original coordinate1 complete sum = -25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 quotient original u shift original coordinate2 coefficient0 product := mul(0, -5) 操作後 quotient original u shift original coordinate2 coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 quotient original u shift original coordinate2 complete sum := sum(0) 操作後 quotient original u shift original coordinate2 complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 quotient original u shift:ORIGINAL W basis order=[[1, 5, 0]];aligned coefficient block=[-5] 操作後 computed whole vector=[-5, -25, 0];a real linear combination in W by its declared span 條件：無 係數與原basis欄一一對齊，semantic排序不調換位置；完整線性組合本身就是W內見證。 步驟識別與依賴規則：quotient_original_basis_coefficients_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 quotient changed v coordinate0 := sum(6, 6) 操作後 quotient changed v coordinate0 = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 quotient changed v coordinate1 := sum(2, 30) 操作後 quotient changed v coordinate1 = 32 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 quotient changed v coordinate2 := sum(3, 0) 操作後 quotient changed v coordinate2 = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 quotient changed u coordinate0 := sum(3, -5) 操作後 quotient changed u coordinate0 = -2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 quotient changed u coordinate1 := sum(5, -25) 操作後 quotient changed u coordinate1 = -20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 quotient changed u coordinate2 := sum(4, 0) 操作後 quotient changed u coordinate2 = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 quotient new sum coordinate0 := sum(12, -2) 操作後 quotient new sum coordinate0 = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 quotient old sum coordinate0 := sum(6, 3) 操作後 quotient old sum coordinate0 = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 quotient changed sum difference coordinate0 := sub(10, 9) 操作後 quotient changed sum difference coordinate0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 quotient new scalar representative coordinate0 := mul(5, 12) 操作後 quotient new scalar representative coordinate0 = 60 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 quotient old scalar representative coordinate0 := mul(5, 6) 操作後 quotient old scalar representative coordinate0 = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 quotient changed scalar difference coordinate0 := sub(60, 30) 操作後 quotient changed scalar difference coordinate0 = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 quotient new sum coordinate1 := sum(32, -20) 操作後 quotient new sum coordinate1 = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 quotient old sum coordinate1 := sum(2, 5) 操作後 quotient old sum coordinate1 = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 quotient changed sum difference coordinate1 := sub(12, 7) 操作後 quotient changed sum difference coordinate1 = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 quotient new scalar representative coordinate1 := mul(5, 32) 操作後 quotient new scalar representative coordinate1 = 160 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 quotient old scalar representative coordinate1 := mul(5, 2) 操作後 quotient old scalar representative coordinate1 = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 quotient changed scalar difference coordinate1 := sub(160, 10) 操作後 quotient changed scalar difference coordinate1 = 150 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 quotient new sum coordinate2 := sum(3, 4) 操作後 quotient new sum coordinate2 = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 quotient old sum coordinate2 := sum(3, 4) 操作後 quotient old sum coordinate2 = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 quotient changed sum difference coordinate2 := sub(7, 7) 操作後 quotient changed sum difference coordinate2 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 quotient new scalar representative coordinate2 := mul(5, 3) 操作後 quotient new scalar representative coordinate2 = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 quotient old scalar representative coordinate2 := mul(5, 3) 操作後 quotient old scalar representative coordinate2 = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 quotient changed scalar difference coordinate2 := sub(15, 15) 操作後 quotient changed scalar difference coordinate2 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 quotient supplied v shift membership:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 6], [5, 30], [0, 0]];rows=3;columns=2 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient supplied v shift membership pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership pivot0 column0 normalized entry1 := div(6, 1) 操作後 quotient supplied v shift membership pivot0 column0 normalized entry1 = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 quotient supplied v shift membership:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 6] 操作後 normalized FULL row=[1, 6] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(5, 1) 操作後 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(5, 5) 操作後 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(5, 6) 操作後 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 product = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(30, 30) 操作後 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 quotient supplied v shift membership:target row=1;old row=[5, 30];subtract factor=5 times FULL pivot row=[1, 6] 操作後 new exact FULL row=[0, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 quotient supplied v shift membership:column=1;remaining exact entries=[0, 0] 操作後 no pivot added;current rank=1 條件：無 剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。 步驟識別與依賴規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S057 S059 · implies操作前 quotient supplied v shift membership:complete exact reduced matrix=[[1, 6], [0, 0], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, 6) 操作後 quotient supplied v shift membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(6) 操作後 quotient supplied v shift membership original coordinate0 reconstruction complete sum = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(5, 6) 操作後 quotient supplied v shift membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(30) 操作後 quotient supplied v shift membership original coordinate1 reconstruction complete sum = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, 6) 操作後 quotient supplied v shift membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 quotient supplied v shift membership original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0) 操作後 quotient supplied v shift membership original coordinate2 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 quotient supplied v shift membership:original proposed vector=[6, 30, 0];original ordered independent columns=[[1, 5, 0]];complete reduced augmented system=[[1, 6], [0, 0], [0, 0]] 操作後 exact real-span coefficient witness=[6];FULL original reconstruction=[6, 30, 0];membership=是 條件：無 主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 quotient supplied u shift membership:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, -5], [5, -25], [0, 0]];rows=3;columns=2 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient supplied u shift membership pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership pivot0 column0 normalized entry1 := div(-5, 1) 操作後 quotient supplied u shift membership pivot0 column0 normalized entry1 = -5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 quotient supplied u shift membership:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, -5] 操作後 normalized FULL row=[1, -5] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(5, 1) 操作後 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(5, 5) 操作後 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(5, -5) 操作後 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 product = -25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(-25, -25) 操作後 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 quotient supplied u shift membership:target row=1;old row=[5, -25];subtract factor=5 times FULL pivot row=[1, -5] 操作後 new exact FULL row=[0, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 quotient supplied u shift membership:column=1;remaining exact entries=[0, 0] 操作後 no pivot added;current rank=1 條件：無 剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。 步驟識別與依賴規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 quotient supplied u shift membership:complete exact reduced matrix=[[1, -5], [0, 0], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, -5) 操作後 quotient supplied u shift membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = -5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(-5) 操作後 quotient supplied u shift membership original coordinate0 reconstruction complete sum = -5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(5, -5) 操作後 quotient supplied u shift membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = -25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(-25) 操作後 quotient supplied u shift membership original coordinate1 reconstruction complete sum = -25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, -5) 操作後 quotient supplied u shift membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 quotient supplied u shift membership original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0) 操作後 quotient supplied u shift membership original coordinate2 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 quotient supplied u shift membership:original proposed vector=[-5, -25, 0];original ordered independent columns=[[1, 5, 0]];complete reduced augmented system=[[1, -5], [0, 0], [0, 0]] 操作後 exact real-span coefficient witness=[-5];FULL original reconstruction=[-5, -25, 0];membership=是 條件：無 主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S083 S085 · implies操作前 quotient supplied sum difference membership:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1], [5, 5], [0, 0]];rows=3;columns=2 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership pivot0 column0 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 quotient supplied sum difference membership:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1] 操作後 normalized FULL row=[1, 1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(5, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(5, 5) 操作後 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(5, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(5, 5) 操作後 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 quotient supplied sum difference membership:target row=1;old row=[5, 5];subtract factor=5 times FULL pivot row=[1, 1] 操作後 new exact FULL row=[0, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 quotient supplied sum difference membership:column=1;remaining exact entries=[0, 0] 操作後 no pivot added;current rank=1 條件：無 剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。 步驟識別與依賴規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 quotient supplied sum difference membership:complete exact reduced matrix=[[1, 1], [0, 0], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(1) 操作後 quotient supplied sum difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(5, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(5) 操作後 quotient supplied sum difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, 1) 操作後 quotient supplied sum difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 quotient supplied sum difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0) 操作後 quotient supplied sum difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · implies操作前 quotient supplied sum difference membership:original proposed vector=[1, 5, 0];original ordered independent columns=[[1, 5, 0]];complete reduced augmented system=[[1, 1], [0, 0], [0, 0]] 操作後 exact real-span coefficient witness=[1];FULL original reconstruction=[1, 5, 0];membership=是 條件：無 主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S101 S103 · implies操作前 quotient supplied scalar difference membership:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 30], [5, 150], [0, 0]];rows=3;columns=2 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient supplied scalar difference membership pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership pivot0 column0 normalized entry1 := div(30, 1) 操作後 quotient supplied scalar difference membership pivot0 column0 normalized entry1 = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · implies操作前 quotient supplied scalar difference membership:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 30] 操作後 normalized FULL row=[1, 30] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(5, 1) 操作後 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(5, 5) 操作後 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(5, 30) 操作後 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product = 150 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(150, 150) 操作後 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · implies操作前 quotient supplied scalar difference membership:target row=1;old row=[5, 150];subtract factor=5 times FULL pivot row=[1, 30] 操作後 new exact FULL row=[0, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S110 S112 · implies操作前 quotient supplied scalar difference membership:column=1;remaining exact entries=[0, 0] 操作後 no pivot added;current rank=1 條件：無 剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。 步驟識別與依賴規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S111 S113 · implies操作前 quotient supplied scalar difference membership:complete exact reduced matrix=[[1, 30], [0, 0], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, 30) 操作後 quotient supplied scalar difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(30) 操作後 quotient supplied scalar difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum = 30 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(5, 30) 操作後 quotient supplied scalar difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = 150 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(150) 操作後 quotient supplied scalar difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum = 150 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, 30) 操作後 quotient supplied scalar difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 quotient supplied scalar difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0) 操作後 quotient supplied scalar difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · implies操作前 quotient supplied scalar difference membership:original proposed vector=[30, 150, 0];original ordered independent columns=[[1, 5, 0]];complete reduced augmented system=[[1, 30], [0, 0], [0, 0]] 操作後 exact real-span coefficient witness=[30];FULL original reconstruction=[30, 150, 0];membership=是 條件：無 主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S119 S121 · implies操作前 ACTUAL original W shifts=[[6, 30, 0], [-5, -25, 0]];changed representatives=[[12, 32, 3], [-2, -20, 4]];actual sum/scalar differences=[[1, 5, 0], [30, 150, 0]] 操作後 ALL four exact full-span memberships=[是, 是, 是, 是];differences equal shift_v+shift_u and lambda*shift_v,matching the arbitrary-representative proof 條件：無 指定資料的每個差都回原W完整核對，同時連回上面的任意代表替換代數。這不把四個成功例子當唯一的全稱理由；lambda=0或W=0照原條件合法保留。 步驟識別與依賴規則：quotient_supplied_changes_match_general_well_definedness · 依賴：G001, S120 ## 逐步反向核對 - S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied scalar difference membership pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied sum difference membership pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied u shift membership pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient supplied v shift membership pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed scalar difference coordinate2，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient old scalar representative coordinate2，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient new scalar representative coordinate2，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed sum difference coordinate2，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient old sum coordinate2，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient new sum coordinate2，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed scalar difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient old scalar representative coordinate1，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient new scalar representative coordinate1，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed sum difference coordinate1，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient old sum coordinate1，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient new sum coordinate1，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed scalar difference coordinate0，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient old scalar representative coordinate0，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient new scalar representative coordinate0，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed sum difference coordinate0，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient old sum coordinate0，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient new sum coordinate0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed u coordinate2，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed u coordinate1，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed u coordinate0，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed v coordinate2，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed v coordinate1，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient changed v coordinate0，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original u shift original coordinate2 complete sum，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original u shift original coordinate2 coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original u shift original coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original u shift original coordinate1 coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original u shift original coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original u shift original coordinate0 coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original v shift original coordinate2 complete sum，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original v shift original coordinate2 coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original v shift original coordinate1 complete sum，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original v shift original coordinate1 coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original v shift original coordinate0 complete sum，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient original v shift original coordinate0 coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (是, 是, 是, 是, 是, addition_and_scalar_multiplication_independent_of_representatives) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 2a7c13570a76f57df8d1e54df1254cea59cc412712cd98417d2f980a5abe6e46 - candidate record SHA-256: f6d2c4095a4d65c1de96479acb28d4dd4b8483c83d38b61cf86a3c26903bed6b - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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