# 第 19954 題：商向量空間 [返回所在分頁 100](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/100/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-foundations/#q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0079) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0038-19954 · q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0079 ## 原題與已知條件 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-dimension-formula；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,4,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 有限維實向量空間、明示子空間基底與exact membership。操作=quotient-dimension-formula；資料={"ambient_dimension":3,"basis_w":[[1,4,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-quotient-vector-space](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-quotient-vector-space/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=quotient-dimension-formula;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[ambient_dimension, dimension_w, quotient_dimension, identity, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不自動成為數學證據，No依各題聲稱範圍解讀。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1], [4], [0]];rows=3;columns=1 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1] 操作後 normalized FULL row=[1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(4, 1) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(4, 4) 操作後 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:target row=1;old row=[4];subtract factor=4 times FULL pivot row=[1] 操作後 new exact FULL row=[0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 quotient ORIGINAL ordered W basis:complete exact reduced matrix=[[1], [0], [0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0] 操作後 rank=1;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ACTUAL ambient real space R^3;complete ORIGINAL independent basis columns of W=[[1, 4, 0]] 操作後 W is the FULL real span of these columns;dim W=1;zero coset is the WHOLE subspace W,not the vector0 alone 條件：無 完整basis的獨立性逐精確rank核過，所以數量是dimW；列表不是W所有元素。空basis代表W={0}，零coset仍是集合W，不把商元素與某一代表向量混型。 步驟識別與依賴規則：quotient_declared_subspace_full_real_span_zero_coset · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1], [4, 0], [0, 0]];rows=3;columns=2 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1] 操作後 normalized FULL row=[1, 1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(4, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(4, 4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(4, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(0, 4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 difference = -4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:target row=1;old row=[4, 0];subtract factor=4 times FULL pivot row=[1, 1] 操作後 new exact FULL row=[0, -4] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry1 := div(-4, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:row=1;column=1;nonzero exact pivot=-4;old FULL row=[0, -4] 操作後 normalized FULL row=[0, 1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:target row=0;old row=[1, 1];subtract factor=1 times FULL pivot row=[0, 1] 操作後 new exact FULL row=[1, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:complete exact reduced matrix=[[1, 0], [0, 1], [0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate0:original proposed vector=[1, 0, 0];original independent columns=[[1, 4, 0]];FULL reduced augmented system=[[1, 0], [0, 1], [0, 0]] 操作後 contradiction row1:0*all real coefficients=1;NOT in the full real span 條件：無 同一可逆方程組出現0=1，故任何實係數都無解；這是全域membership否證，不是某範圍內找不到整數係數。 步驟識別與依賴規則：quotient_actual_inconsistent_real_system_not_bounded_search_failure · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 next ORIGINAL standard-coordinate vector e_0=[1, 0, 0];in previous full span=否 操作後 append this independent new vector;current full ordered independent family=[[1, 4, 0], [1, 0, 0]] 條件：無 已在span就跳過，不在span才加入而保獨立。逐標準基向量後，已檢點仍在擴大的span內，故最終生成所有實向量；這是有限basis構造，不把任意有限取樣當全空間。 步驟識別與依賴規則：quotient_exact_basis_extension_not_dimension_from_samples · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1, 0], [4, 0, 1], [0, 0, 0]];rows=3;columns=3 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry2 := div(0, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry2 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1, 0] 操作後 normalized FULL row=[1, 1, 0] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(4, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(4, 4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(4, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(0, 4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 difference = -4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 product := mul(4, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 difference := sub(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:target row=1;old row=[4, 0, 1];subtract factor=4 times FULL pivot row=[1, 1, 0] 操作後 new exact FULL row=[0, -4, 1] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry1 := div(-4, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry2 := div(1, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry2 = -1/4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:row=1;column=1;nonzero exact pivot=-4;old FULL row=[0, -4, 1] 操作後 normalized FULL row=[0, 1, -1/4] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 product := mul(1, -1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 product = -1/4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 difference := sub(0, -1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 difference = 1/4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:target row=0;old row=[1, 1, 0];subtract factor=1 times FULL pivot row=[0, 1, -1/4] 操作後 new exact FULL row=[1, 0, 1/4] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:column=2;remaining exact entries=[0] 操作後 no pivot added;current rank=2 條件：無 剩餘全零欄不補pivot，保其原角色與索引。 步驟識別與依賴規則：quotient_zero_remaining_column_no_fake_pivot · 依賴：G001, S052 S054 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:complete exact reduced matrix=[[1, 0, 1/4], [0, 1, -1/4], [0, 0, 0]];ORIGINAL pivot-column indices=[0, 1] 操作後 rank=2;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient0 product := mul(1, 1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient0 product = 1/4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient1 product := mul(1, -1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient1 product = -1/4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction complete sum := sum(1/4, -1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient0 product := mul(4, 1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient0 product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient1 product := mul(0, -1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient1 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction complete sum := sum(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction complete sum = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient0 product := mul(0, 1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient1 product := mul(0, -1/4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient1 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction complete sum := sum(0, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction complete sum = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate1:original proposed vector=[0, 1, 0];original ordered independent columns=[[1, 4, 0], [1, 0, 0]];complete reduced augmented system=[[1, 0, 1/4], [0, 1, -1/4], [0, 0, 0]] 操作後 exact real-span coefficient witness=[1/4, -1/4];FULL original reconstruction=[0, 1, 0];membership=是 條件：無 主元方程給精確係數，再逐原座標完整代回。零basis時空係數只重建零向量；非零basis可有非整數或超出原輸入界限的合法實係數，不把它們排除。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_span_coefficient_witness_not_sampled_membership · 依賴：G001, S063 S065 · implies操作前 next ORIGINAL standard-coordinate vector e_1=[0, 1, 0];in previous full span=是 操作後 keep previous basis;current full ordered independent family=[[1, 4, 0], [1, 0, 0]] 條件：無 已在span就跳過，不在span才加入而保獨立。逐標準基向量後，已檢點仍在擴大的span內，故最終生成所有實向量；這是有限basis構造，不把任意有限取樣當全空間。 步驟識別與依賴規則：quotient_exact_basis_extension_not_dimension_from_samples · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:COMPLETE exact original ordered matrix=[[1, 1, 0], [4, 0, 0], [0, 0, 1]];rows=3;columns=3 操作後 perform invertible ROW operations on EVERY entry;original COLUMN and right-side roles remain fixed 條件：無 逐格可逆列運算保整個實解集合，不對係數先設有限整數盒。basis是原column順序，不能以semantic排序調換係數或right side。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_matrix_real_linear_equations_not_grid · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry0 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry0 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry1 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry2 := div(0, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry2 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:row=0;column=0;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[1, 1, 0] 操作後 normalized FULL row=[1, 1, 0] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 product := mul(4, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference := sub(4, 4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 product := mul(4, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 product = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 difference := sub(0, 4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 difference = -4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 product := mul(4, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 difference := sub(0, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:target row=1;old row=[4, 0, 0];subtract factor=4 times FULL pivot row=[1, 1, 0] 操作後 new exact FULL row=[0, -4, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry0 := div(0, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry0 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry1 := div(-4, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry1 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry2 := div(0, -4) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry2 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:row=1;column=1;nonzero exact pivot=-4;old FULL row=[0, -4, 0] 操作後 normalized FULL row=[0, 1, 0] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 product := mul(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference := sub(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 product := mul(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 product = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference := sub(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 product := mul(1, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 product = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 difference := sub(0, 0) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 difference = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:target row=0;old row=[1, 1, 0];subtract factor=1 times FULL pivot row=[0, 1, 0] 操作後 new exact FULL row=[1, 0, 0] 條件：無 同一倍數逐每格相減，反向加回可逆；所有方程同時保留，不用抽樣解測試代替。 步驟識別與依賴規則：quotient_invertible_complete_row_elimination · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry0 := div(0, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry0 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry1 := div(0, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry1 = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry2 := div(1, 1) 操作後 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry2 = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:row=2;column=2;nonzero exact pivot=1;old FULL row=[0, 0, 1] 操作後 normalized FULL row=[0, 0, 1] 條件：無 整列同除非零pivot，不只修改左半或只改一個格。 步驟識別與依賴規則：quotient_nonzero_pivot_all_entry_scaling · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:complete exact reduced matrix=[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]];ORIGINAL pivot-column indices=[0, 1, 2] 操作後 rank=3;pivot coordinates independent;ALL original column relations and full real system solution set preserved 條件：無 主元identity座標給獨立性，其餘欄由主元列座標表出，故rank可由pivot數讀出；可逆列運算把這些關係帶回原矩陣。 步驟識別與依賴規則：quotient_full_rank_and_solution_set_certificate · 依賴：G001, S092 S094 · implies操作前 quotient basis extension standard coordinate2:original proposed vector=[0, 0, 1];original independent columns=[[1, 4, 0], [1, 0, 0]];FULL reduced augmented system=[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] 操作後 contradiction row2:0*all real coefficients=1;NOT in the full real span 條件：無 同一可逆方程組出現0=1，故任何實係數都無解；這是全域membership否證，不是某範圍內找不到整數係數。 步驟識別與依賴規則：quotient_actual_inconsistent_real_system_not_bounded_search_failure · 依賴：G001, S093 S095 · implies操作前 next ORIGINAL standard-coordinate vector e_2=[0, 0, 1];in previous full span=否 操作後 append this independent new vector;current full ordered independent family=[[1, 4, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]] 條件：無 已在span就跳過，不在span才加入而保獨立。逐標準基向量後，已檢點仍在擴大的span內，故最終生成所有實向量；這是有限basis構造，不把任意有限取樣當全空間。 步驟識別與依賴規則：quotient_exact_basis_extension_not_dimension_from_samples · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 quotient finite dimension difference := sub(3, 1) 操作後 quotient finite dimension difference = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留正負號、分母、索引及所在載體。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · implies操作前 ORIGINAL complete W basis=[[1, 4, 0]];exact full ambient basis extends it by=[[1, 0, 0], [0, 0, 1]];ambient dimension=3 操作後 cosets of extension vectors span V/W;any zero coset combination would be a full-basis relation,so all its coefficients0;dim(V/W)=2=n-dimW;zero coset=WHOLE W 條件：無 任意ambient向量展開後，W部分在商中為零，extension cosets便生成。若extension線性組合落W，把它移成原完整basis的零關係，獨立性迫其係數全零，所以真是商basis。W=0或W=V也直接涵蓋；此dim公式限有限維。 步驟識別與依賴規則：quotient_basis_extension_full_span_independence_dimension · 依賴：G001, S096 ## 逐步反向核對 - S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient finite dimension difference，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot2 column2 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 difference，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry2 product，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 difference，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry2 product，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate2 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient1 product，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate2 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient1 product，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate1 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction complete sum，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient1 product，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 original coordinate0 reconstruction coefficient0 product，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 difference，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry2 product，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 difference，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry2 product，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry2，不以小數近似替代。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate1 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry1 product，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row0 pivot1 entry0 product，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot1 column1 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 difference，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry1 product，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient basis extension standard coordinate0 pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 difference，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis eliminate row1 pivot0 entry0 product，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 quotient ORIGINAL ordered W basis pivot0 column0 normalized entry0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (3, 1, 2, 是, finite_dimensional_dimension_formula_and_zero_coset_is_W) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: bdaddc13afaa0552391a4fade163334c2251e7ca1c78bb88f66f2b116923d97c - candidate record SHA-256: c9b23fc9e3a3dc8fff023c31bbf4938e233062d2631bbb5d06780fba8677baa5 - semantic review receipt SHA-256: d165cad30849a3aba67390a59c572c0d965269d4b405e43df36da19e28d85612 - question-first witness SHA-256: c222ca47a07939c019865a1e4d9ce633205cdee68db92bf96a96f5683a62ebc7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261106-r07-quotient-vector-space-0079.json)