# 第 20520 題：上確界與下確界 [返回所在分頁 103](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/103/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0020) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0040-20520 · q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0020 ## 原題與已知條件 非空且相應有界的實值集合或明示有界開區間。操作=supinf-finite-extrema；資料={"values":[[20,21],[-21,22],[41,23]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 非空且相應有界的實值集合或明示有界開區間。操作=supinf-finite-extrema；資料={"values":[[20,21],[-21,22],[41,23]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-supremum-and-infimum](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=supinf-finite-extrema;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[values, supremum, infimum, supremum_attained, infimum_attained, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。標籤不自動是數學證據，No保持來源的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL complete ordered nonempty finite real-value list=[20/21, -21/22, 41/23] 操作後 initialize upper/lower extremum candidates at ORIGINAL first value;duplicates retained and do not change set bounds 條件：無 這是完整有限集合的給定列表，不是未知集合的有限取樣。重複值可出現但不改sup/inf，輸出仍按原順序保留，不先排序資料。 步驟識別與依賴規則：supinf_complete_nonempty_finite_set_not_samples_or_sorting · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 supinf original value1 minus previous maximum := sub(-21/22, 20/21) 操作後 supinf original value1 minus previous maximum = -881/462 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 supinf original value1 minus previous minimum := sub(-21/22, 20/21) 操作後 supinf original value1 minus previous minimum = -881/462 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL next index=1;value=-21/22;previous extremum values=[20/21, 20/21];differences=[-881/462, -881/462] 操作後 prefix maximum=20/21 attained at original index0;prefix minimum=-21/22 attained at original index1 條件：無 逐全部原值比較保prefix最大／最小不變式，只在嚴格變大／變小時改witness；沒有漏掉的原值。 步驟識別與依賴規則：supinf_every_value_extremum_prefix_invariant · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 supinf original value2 minus previous maximum := sub(41/23, 20/21) 操作後 supinf original value2 minus previous maximum = 401/483 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 supinf original value2 minus previous minimum := sub(41/23, -21/22) 操作後 supinf original value2 minus previous minimum = 1385/506 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL next index=2;value=41/23;previous extremum values=[20/21, -21/22];differences=[401/483, 1385/506] 操作後 prefix maximum=41/23 attained at original index2;prefix minimum=-21/22 attained at original index1 條件：無 逐全部原值比較保prefix最大／最小不變式，只在嚴格變大／變小時改witness；沒有漏掉的原值。 步驟識別與依賴規則：supinf_every_value_extremum_prefix_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ALL original values processed;actual maximum witness=[2, 41/23];actual minimum witness=[1, -21/22] 操作後 EVERY listed value between-21/22 and41/23;ANY upper bound must>=actual maximum in the set;ANY lower bound must<=actual minimum;sup=41/23,inf=-21/22,BOTH attained 條件：無 最大點本身屬集合，故任何上界都不能比它小；最小點亦迫任何下界不能更大。這同時證bound與leastness／greatestness，有限非空才有此取到性，不外推一般有界集合。 步驟識別與依賴規則：supinf_bounds_and_least_greatest_by_actual_attaining_points · 依賴：G001, S008 ## 逐步反向核對 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value2 minus previous minimum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value2 minus previous maximum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value1 minus previous minimum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value1 minus previous maximum，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([20/21, -21/22, 41/23], 41/23, -21/22, 是, 是, finite_nonempty_set_extrema) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: d2e568a43ab1ad00d77fa45c18305eba6699eb0282aa5af7bf4a14fff3700a86 - candidate record SHA-256: daa3440d5ce3091dfb179054bd2ec32fb6158912d53ef5e4c1d25fa9629fc238 - semantic review receipt SHA-256: c6483ed1229af9183fe5c704a2627b1558ad9a31bfbb0d2ee2d5c1a1c299ab4d - question-first witness SHA-256: e81f9a560d630fcb23441146f008c4feca7aceab3ebe4de2cf1997c061375ef7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0020.json)