# 第 20581 題：上確界與下確界 [返回所在分頁 103](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/103/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0031) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0040-20581 · q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0031 ## 原題與已知條件 非空且相應有界的實值集合或明示有界開區間。操作=supinf-upper-bound-leastness；資料={"values":[[6,7],[-7,8],[13,9]],"candidate":[13,9]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 非空且相應有界的實值集合或明示有界開區間。操作=supinf-upper-bound-leastness；資料={"values":[[6,7],[-7,8],[13,9]],"candidate":[13,9]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-supremum-and-infimum](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=supinf-upper-bound-leastness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[candidate, is_upper_bound, supremum, equals_supremum, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。標籤不自動是數學證據，No保持來源的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL complete ordered nonempty finite real-value list=[6/7, -7/8, 13/9] 操作後 initialize upper/lower extremum candidates at ORIGINAL first value;duplicates retained and do not change set bounds 條件：無 這是完整有限集合的給定列表，不是未知集合的有限取樣。重複值可出現但不改sup/inf，輸出仍按原順序保留，不先排序資料。 步驟識別與依賴規則：supinf_complete_nonempty_finite_set_not_samples_or_sorting · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 supinf original value1 minus previous maximum := sub(-7/8, 6/7) 操作後 supinf original value1 minus previous maximum = -97/56 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 supinf original value1 minus previous minimum := sub(-7/8, 6/7) 操作後 supinf original value1 minus previous minimum = -97/56 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL next index=1;value=-7/8;previous extremum values=[6/7, 6/7];differences=[-97/56, -97/56] 操作後 prefix maximum=6/7 attained at original index0;prefix minimum=-7/8 attained at original index1 條件：無 逐全部原值比較保prefix最大／最小不變式，只在嚴格變大／變小時改witness；沒有漏掉的原值。 步驟識別與依賴規則：supinf_every_value_extremum_prefix_invariant · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 supinf original value2 minus previous maximum := sub(13/9, 6/7) 操作後 supinf original value2 minus previous maximum = 37/63 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 supinf original value2 minus previous minimum := sub(13/9, -7/8) 操作後 supinf original value2 minus previous minimum = 167/72 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL next index=2;value=13/9;previous extremum values=[6/7, -7/8];differences=[37/63, 167/72] 操作後 prefix maximum=13/9 attained at original index2;prefix minimum=-7/8 attained at original index1 條件：無 逐全部原值比較保prefix最大／最小不變式，只在嚴格變大／變小時改witness；沒有漏掉的原值。 步驟識別與依賴規則：supinf_every_value_extremum_prefix_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ALL original values processed;actual maximum witness=[2, 13/9];actual minimum witness=[1, -7/8] 操作後 EVERY listed value between-7/8 and13/9;ANY upper bound must>=actual maximum in the set;ANY lower bound must<=actual minimum;sup=13/9,inf=-7/8,BOTH attained 條件：無 最大點本身屬集合，故任何上界都不能比它小；最小點亦迫任何下界不能更大。這同時證bound與leastness／greatestness，有限非空才有此取到性，不外推一般有界集合。 步驟識別與依賴規則：supinf_bounds_and_least_greatest_by_actual_attaining_points · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 supinf candidate bound test original value0 := sub(13/9, 6/7) 操作後 supinf candidate bound test original value0 = 37/63 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 supinf candidate bound test original value1 := sub(13/9, -7/8) 操作後 supinf candidate bound test original value1 = 167/72 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 supinf candidate bound test original value2 := sub(13/9, 13/9) 操作後 supinf candidate bound test original value2 = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL candidate=13/9;upper-bound flags for EVERY original value=[是, 是, 是];separate actual extremum=13/9 操作後 candidate is bound=是;candidate equals SUP=是;a loose bound and a failed candidate are not the extremum 條件：無 候選bound要逐值全稱核；等於已證sup／inf才是相應最緊界。失敗只否決此candidate，不表示集合無界；鬆界通過也不等於最小上界／最大下界。 步驟識別與依賴規則：supinf_candidate_bound_and_least_greatest_separate_flags · 依賴：G001, S012 ## 逐步反向核對 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf candidate bound test original value2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf candidate bound test original value1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf candidate bound test original value0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value2 minus previous minimum，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value2 minus previous maximum，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value1 minus previous minimum，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf original value1 minus previous maximum，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (13/9, 是, 13/9, 是, upper_bound_and_leastness_are_separate) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: b96b1645a76309663a444a13bb39658d92b95025d4de8eb7b478e51fab9eba19 - candidate record SHA-256: de8d4ab90d4feb6a8ce98d337706f8e1ac119794a4065760997f59f60130cd25 - semantic review receipt SHA-256: c6483ed1229af9183fe5c704a2627b1558ad9a31bfbb0d2ee2d5c1a1c299ab4d - question-first witness SHA-256: e81f9a560d630fcb23441146f008c4feca7aceab3ebe4de2cf1997c061375ef7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0031.json)