# 第 20557 題：上確界與下確界

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本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。

R0040-20557 · q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0082



## 原題與已知條件

非空且相應有界的實值集合或明示有界開區間。操作=supinf-open-interval-nonattainment；資料={"left":[6,7],"right":[8,7]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。


- G001 — 非空且相應有界的實值集合或明示有界開區間。操作=supinf-open-interval-nonattainment；資料={"left":[6,7],"right":[8,7]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。





## 定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。


- [mko-supremum-and-infimum](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-supremum-and-infimum/)





## 逐步推導

S001 · implies操作前

source operation=supinf-open-interval-nonattainment;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[left, right, supremum, infimum, supremum_attained, infimum_attained, boundary]

條件：無

原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。標籤不自動是數學證據，No保持來源的聲稱範圍。

步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001





S002 · calculation操作前

supinf WHOLE open interval positive width := sub(8/7, 6/7)

操作後

supinf WHOLE open interval positive width = 2/7

條件：無

依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001





S003 · calculation操作前

supinf interval midpoint numerator := sum(6/7, 8/7)

操作後

supinf interval midpoint numerator = 2

條件：無

依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002





S004 · calculation操作前

supinf one midpoint nonemptiness witness := div(2, 2)

操作後

supinf one midpoint nonemptiness witness = 1

條件：無

依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。

步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003





S005 · implies操作前

WHOLE original real open interval(6/7,8/7);positive width=2/7;one displayed midpoint=1

操作後

for EVERY real x in this WHOLE interval,6/7<x<8/7;right=8/7 is an upper bound,left=6/7 is a lower bound;midpoint only witnesses nonemptiness

條件：無

區間包含全部滿足嚴格不等式的實數，不把midpoint當完整集合或由一點猜sup/inf；bound理由是任意區間內x的定義不等式。

步驟識別與依賴規則：supinf_infinite_interval_bounds_not_finite_sample_extrema · 依賴：G001, S004





S006 · implies操作前

WHOLE interval left L=6/7,right R=8/7;consider ANY real proposed upper bound b<R or lower bound c>L

操作後

x=(max(L,b)+R)/2 lies in the interval and x>b,so b is NOT upper;y=(L+min(R,c))/2 lies in the interval and y<c,so c is NOT lower;therefore sup=R and inf=L

條件：無

b<R時max(L,b)<R，兩者midpoint嚴格介於其間而超過b；c>L時同理用min(R,c)得到低於c的區間點。這對任意實candidate有效，不限有理取樣或一串顯示數值。

步驟識別與依賴規則：supinf_open_interval_all_real_candidate_leastness_greatestness · 依賴：G001, S005





S007 · implies操作前

original interval conditions L<x<R with L=6/7,R=8/7

操作後

NEITHER endpoint satisfies both strict inequalities;supremum attained=否,infimum attained=否;for any interior point a midpoint toward each endpoint gives a larger/smaller interior point

條件：無

端點不在開區間；任意內點往兩端各取midpoint還可得到更大／更小內點，故沒有maximum或minimum。sup/inf存在不等於取到。

步驟識別與依賴規則：supinf_bounds_not_members_no_maximum_or_minimum · 依賴：G001, S006









## 逐步反向核對


- S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
- S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf one midpoint nonemptiness witness，不以小數近似替代。
- S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf interval midpoint numerator，不以小數近似替代。
- S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 supinf WHOLE open interval positive width，不以小數近似替代。
- S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。





## 結論

(6/7, 8/7, 8/7, 6/7, 否, 否, supremum_and_infimum_not_attained)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。





## 本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
- input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
- original question SHA-256: c1da6613b4ba8d1611dd45fc1838ddd9b011a1d414c093aeb24f687c8c240cc1
- candidate record SHA-256: 28d20583d60730679c1880e96e633e62df81cb5c21deeff4a9f16a478c91fe5a
- semantic review receipt SHA-256: c6483ed1229af9183fe5c704a2627b1558ad9a31bfbb0d2ee2d5c1a1c299ab4d
- question-first witness SHA-256: e81f9a560d630fcb23441146f008c4feca7aceab3ebe4de2cf1997c061375ef7
- Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

[同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r02-supremum-and-infimum-0082.json)