# 第 20678 題：拓撲基底 [返回所在分頁 104](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/104/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r03-topological-basis-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r03-topological-basis-0078) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0040-20678 · q-20261014-advance-20261107-r03-topological-basis-0078 ## 原題與已知條件 完整有限carrier與完整basis candidate。操作=topbasis-subbasis-boundary；資料={"n":5,"basis":[[0,1],[1,2],[1,3],[2,3],[3,4]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限carrier與完整basis candidate。操作=topbasis-subbasis-boundary；資料={"n":5,"basis":[[0,1],[1,2],[1,3],[2,3],[3,4]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-topological-basis](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-topological-basis/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=topbasis-subbasis-boundary;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[covers_carrier, local_refinement, is_basis, cover_alone_suffices_general_claim, boundary] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。標籤不自動是數學證據，No保持來源的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 original basis candidate:ORIGINAL complete candidate family=[[0, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [3, 4]];carrier Fin(5) 操作後 within-set numeric normalization=[[0, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [3, 4]];no duplicate points or duplicate FAMILY elements;WHOLE original family already in required key order;empty family allowed as candidate 條件：無 basis是subset族，不是向量basis；個數可大於n。只規範每個集合內的點順序，不重排原族索引，不刪重複來修資料；空candidate族仍可受資格審查。 步驟識別與依賴規則：topbasis_canonical_candidate_family_not_semantic_reordering · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 COMPLETE original candidate basis=[[0, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [3, 4]];ALL carrier points0..4 操作後 ALL [point,containing_basis_indices] rows=[[0, [0]], [1, [0, 1, 2]], [2, [1, 3]], [3, [2, 3, 4]], [4, [4]]];covers WHOLE carrier=是 條件：無 每個點至少落一個basis候選才cover；這項不能代替局部交細化。族為空時n≥1，所以cover失敗而不是拋棄該candidate。 步驟識別與依賴規則：topbasis_every_point_cover_separate_from_refinement · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[0, 0];actual basis elements=[[0, 1], [0, 1]];FULL intersection=[0, 1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[0, [0]], [1, [0]]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[0, 1];actual basis elements=[[0, 1], [1, 2]];FULL intersection=[1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[0, 2];actual basis elements=[[0, 1], [1, 3]];FULL intersection=[1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[0, 3];actual basis elements=[[0, 1], [2, 3]];FULL intersection=[] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[0, 4];actual basis elements=[[0, 1], [3, 4]];FULL intersection=[] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[1, 0];actual basis elements=[[1, 2], [0, 1]];FULL intersection=[1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[1, 1];actual basis elements=[[1, 2], [1, 2]];FULL intersection=[1, 2] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, [1]], [2, [1]]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[1, 2];actual basis elements=[[1, 2], [1, 3]];FULL intersection=[1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[1, 3];actual basis elements=[[1, 2], [2, 3]];FULL intersection=[2] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[2, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[1, 4];actual basis elements=[[1, 2], [3, 4]];FULL intersection=[] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[2, 0];actual basis elements=[[1, 3], [0, 1]];FULL intersection=[1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[2, 1];actual basis elements=[[1, 3], [1, 2]];FULL intersection=[1] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[2, 2];actual basis elements=[[1, 3], [1, 3]];FULL intersection=[1, 3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[1, [2]], [3, [2]]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[2, 3];actual basis elements=[[1, 3], [2, 3]];FULL intersection=[3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[2, 4];actual basis elements=[[1, 3], [3, 4]];FULL intersection=[3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[3, 0];actual basis elements=[[2, 3], [0, 1]];FULL intersection=[] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[3, 1];actual basis elements=[[2, 3], [1, 2]];FULL intersection=[2] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[2, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[3, 2];actual basis elements=[[2, 3], [1, 3]];FULL intersection=[3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[3, 3];actual basis elements=[[2, 3], [2, 3]];FULL intersection=[2, 3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[2, [3]], [3, [3]]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[3, 4];actual basis elements=[[2, 3], [3, 4]];FULL intersection=[3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[4, 0];actual basis elements=[[3, 4], [0, 1]];FULL intersection=[] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[4, 1];actual basis elements=[[3, 4], [1, 2]];FULL intersection=[] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[4, 2];actual basis elements=[[3, 4], [1, 3]];FULL intersection=[3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[4, 3];actual basis elements=[[3, 4], [2, 3]];FULL intersection=[3] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, []]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL ordered basis positions(left,right)=[4, 4];actual basis elements=[[3, 4], [3, 4]];FULL intersection=[3, 4] 操作後 ALL [intersection_point,ALL refining original basis indices] rows=[[3, [4]], [4, [4]]];empty intersection gives VACUOUS local obligation;first failure retained in source order 條件：無 對交集內每個x要存在某basis元素含x且包含在交集中，不要求整個交集本身在basis。逐全部候選refiner才可證不存在，首失敗保left/right/point的LEX順序。 步驟識別與依賴規則：topbasis_full_local_point_refinement_not_intersection_membership · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 ACTUAL cover=是;ALL local point obligations refined=否;first failure[left,right,point,intersection]=[0, 1, 1, [1]] 操作後 abstract basis validity=否 is cover AND LOCAL refinement;not closure of the family under intersections and not a given-topology certificate yet 條件：無 兩項合取才給抽象basis；cover-only不夠，另一方面好basis不必對交運算封閉。相對已給topology還有開性與生成所有開集的其他責任。 步驟識別與依賴規則：topbasis_cover_and_local_refinement_conjunction · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 ACTUAL complete candidate cover=是,local refinement=否,is_basis=否 操作後 cover-alone SUFFICES GENERAL CLAIM=否;not a negation of actual is_basis and not a test proving subbasis status false 條件：無 最後No只否決一般『cover就夠basis』推論，不改已獨立計算的is_basis。好basis仍可True；這一欄也沒審subbasis，subbasis生成一般另須先取finite intersections再unions。 步驟識別與依賴規則：topbasis_cover_alone_No_not_actual_basis_or_subbasis_negation · 依賴：G001, S029 ## 逐步反向核對 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (是, 否, 否, 否, cover_without_local_intersection_refinement_is_not_a_basis_and_may_only_be_a_subbasis) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 040d31ba063830d38dd8bb7e52a05b55b1de0df1466a9193de347e31470107c7 - candidate record SHA-256: 7579b6a35538825bbc18f6d984f303eea7c83b9e4aecc1fdad5c9ed8f4615482 - semantic review receipt SHA-256: c6483ed1229af9183fe5c704a2627b1558ad9a31bfbb0d2ee2d5c1a1c299ab4d - question-first witness SHA-256: e81f9a560d630fcb23441146f008c4feca7aceab3ebe4de2cf1997c061375ef7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r03-topological-basis-0078.json)