# 第 20209 題：Markov不等式 [返回所在分頁 102](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/102/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r04-markov-inequality-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r04-markov-inequality-0059) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0039-20209 · q-20261014-advance-20261107-r04-markov-inequality-0059 ## 原題與已知條件 完整正規化有限有理law、明示隨機變數與正閾值。操作=markov-bound-comparison；資料={"masses":[[1,14],[2,14],[11,14]],"values":[0,9,11],"threshold":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整正規化有限有理law、明示隨機變數與正閾值。操作=markov-bound-comparison；資料={"masses":[[1,14],[2,14],[11,14]],"values":[0,9,11],"threshold":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-markov-inequality](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-markov-inequality/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=markov-bound-comparison;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[tail_probability, expectation, raw_upper_bound, bound_holds, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Markov complete probability mass := sum(1/14, 1/7, 11/14) 操作後 Markov complete probability mass = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Markov original atom0 weighted X := mul(1/14, 0) 操作後 Markov original atom0 weighted X = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Markov original atom1 weighted X := mul(1/7, 9) 操作後 Markov original atom1 weighted X = 9/7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Markov original atom2 weighted X := mul(11/14, 11) 操作後 Markov original atom2 weighted X = 121/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Markov complete SAME-law expectation := sum(0, 9/7, 121/14) 操作後 Markov complete SAME-law expectation = 139/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ORIGINAL complete nonempty masses=[1/14, 1/7, 11/14];ALL aligned values X=[0, 9, 11];full mass=1;ALL weighted X terms=[0, 9/7, 121/14] 操作後 finite exact expectation=139/14;prototype EVERY-ENTRY nonnegative=是;actual positive-mass nonnegativity=是;null-negative atoms=[];positive-mass negative atoms=[] 條件：無 原型flag逐整張表檢非負，a.s.只限制正質量點，兩者不混同。非tail題族依英文來源guard把僅null負值的歧義留給來源審查，不把它當定理前提失敗；tail本身仍可對signed X計算。 步驟識別與依賴規則：markov_pointwise_source_gate_not_almost_sure_confusion · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Markov original atom0 threshold-event mass := mul(1/14, 0) 操作後 Markov original atom0 threshold-event mass = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL atom=0;value X=0;positive threshold=10;original mass=1/14 操作後 event X>=threshold=否;EQUALITY INCLUDED;event mass contribution=0 條件：無 原事件是大於等於threshold，不可偷換嚴格大於；逐全部原子乘事件指示量，包括零質量結果，不以有限觀察頻率代替完整law。 步驟識別與依賴規則：markov_full_tail_event_includes_equality_not_strict_tail · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Markov original atom1 threshold-event mass := mul(1/7, 0) 操作後 Markov original atom1 threshold-event mass = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ORIGINAL atom=1;value X=9;positive threshold=10;original mass=1/7 操作後 event X>=threshold=否;EQUALITY INCLUDED;event mass contribution=0 條件：無 原事件是大於等於threshold，不可偷換嚴格大於；逐全部原子乘事件指示量，包括零質量結果，不以有限觀察頻率代替完整law。 步驟識別與依賴規則：markov_full_tail_event_includes_equality_not_strict_tail · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Markov original atom2 threshold-event mass := mul(11/14, 1) 操作後 Markov original atom2 threshold-event mass = 11/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL atom=2;value X=11;positive threshold=10;original mass=11/14 操作後 event X>=threshold=是;EQUALITY INCLUDED;event mass contribution=11/14 條件：無 原事件是大於等於threshold，不可偷換嚴格大於；逐全部原子乘事件指示量，包括零質量結果，不以有限觀察頻率代替完整law。 步驟識別與依賴規則：markov_full_tail_event_includes_equality_not_strict_tail · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Markov complete exact tail probability := sum(0, 0, 11/14) 操作後 Markov complete exact tail probability = 11/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ALL original threshold-event flags=[否, 否, 是];ALL law-weighted indicator terms=[0, 0, 11/14] 操作後 exact complete-law tail probability=11/14;this event calculation ALONE does not assert Markov applicability 條件：無 完整事件質量和是真尾機率，對signed X也可算。這個數值不自行證X非負a.s.，也不等於之後的E[X]/threshold上界。 步驟識別與依賴規則：markov_exact_event_probability_separate_from_theorem_bound · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Markov RAW expectation over positive threshold := div(139/14, 10) 操作後 Markov RAW expectation over positive threshold = 139/140 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Markov proof atom0 threshold times indicator := mul(10, 0) 操作後 Markov proof atom0 threshold times indicator = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Markov proof atom0 pointwise X minus threshold indicator := sub(0, 0) 操作後 Markov proof atom0 pointwise X minus threshold indicator = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 Markov proof atom0 law-weighted nonnegative slack := mul(1/14, 0) 操作後 Markov proof atom0 law-weighted nonnegative slack = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Markov proof atom1 threshold times indicator := mul(10, 0) 操作後 Markov proof atom1 threshold times indicator = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Markov proof atom1 pointwise X minus threshold indicator := sub(9, 0) 操作後 Markov proof atom1 pointwise X minus threshold indicator = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Markov proof atom1 law-weighted nonnegative slack := mul(1/7, 9) 操作後 Markov proof atom1 law-weighted nonnegative slack = 9/7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Markov proof atom2 threshold times indicator := mul(10, 1) 操作後 Markov proof atom2 threshold times indicator = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Markov proof atom2 pointwise X minus threshold indicator := sub(11, 10) 操作後 Markov proof atom2 pointwise X minus threshold indicator = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · calculation操作前 Markov proof atom2 law-weighted nonnegative slack := mul(11/14, 1) 操作後 Markov proof atom2 law-weighted nonnegative slack = 11/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Markov complete nonnegative weighted slack sum := sum(0, 9/7, 11/14) 操作後 Markov complete nonnegative weighted slack sum = 29/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Markov threshold times exact tail := mul(10, 11/14) 操作後 Markov threshold times exact tail = 55/7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Markov expectation minus threshold tail := sub(139/14, 55/7) 操作後 Markov expectation minus threshold tail = 29/14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 ALL qualified original values nonnegative;for each atom threshold*1_event<=X;weighted slack terms=[0, 9/7, 11/14];threshold=10>0 操作後 E[X]-threshold*P(event)=29/14>=0;divide POSITIVE threshold to obtain actual tail=11/14<=RAW bound=139/140;NO equality claim and NO clipping to1 條件：無 事件內X≥threshold，事件外用X≥0，逐點得不等式後乘非負質量並全和，再除正threshold。真正定理只需a.s.非負，此pointwise題族是足夠條件。上界可能大於1或嚴格大於尾機率，不能當成機率值或改成1。 步驟識別與依賴規則：markov_full_weighted_indicator_proof_not_numeric_coincidence · 依賴：G001, S028 ## 逐步反向核對 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov expectation minus threshold tail，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov threshold times exact tail，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov complete nonnegative weighted slack sum，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom2 law-weighted nonnegative slack，不以小數近似替代。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom2 pointwise X minus threshold indicator，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom2 threshold times indicator，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom1 law-weighted nonnegative slack，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom1 pointwise X minus threshold indicator，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom1 threshold times indicator，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom0 law-weighted nonnegative slack，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom0 pointwise X minus threshold indicator，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov proof atom0 threshold times indicator，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov RAW expectation over positive threshold，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov complete exact tail probability，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov original atom2 threshold-event mass，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov original atom1 threshold-event mass，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov original atom0 threshold-event mass，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov complete SAME-law expectation，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov original atom2 weighted X，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov original atom1 weighted X，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov original atom0 weighted X，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Markov complete probability mass，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (11/14, 139/14, 139/140, 是, upper_bound_not_tail_equality) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: fe289df78e73a16aa79399d36f7086c7cf6f78a09351a5b17a5913f9d227875a - candidate record SHA-256: 54676f3bcd1955e36404ac58b87409ed9be6ec20091a9c26c5d2439f187ec95f - semantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034 - question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r04-markov-inequality-0059.json)