# 第 20025 題：Euler定理 [返回所在分頁 101](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/101/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0025) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0039-20025 · q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0025 ## 原題與已知條件 n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-congruence；資料={"n":29,"a":26}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-congruence；資料={"n":29,"a":26}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euler-theorem-number-theory](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=eulerthm-congruence;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, normalized_base, totient, residue, congruent_to_one] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient := div(26, 29) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient = 26/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple := mul(0, 29) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder := sub(26, 0) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder = 26 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization:ORIGINAL signed integer=26;modulus=29;exact ratio=26/29;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=26 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Euler ORIGINAL base applicability gcd:ORIGINAL gcd inputs=[26, 29];nonnegative initial pair=[26, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[26, 29, 0, 26], [29, 26, 1, 3], [26, 3, 8, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Euler residue representative0:ORIGINAL gcd inputs=[0, 29];nonnegative initial pair=[0, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[0, 29, 0, 0]];terminal gcd=29 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Euler residue representative1:ORIGINAL gcd inputs=[1, 29];nonnegative initial pair=[1, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[1, 29, 0, 1], [29, 1, 29, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Euler residue representative2:ORIGINAL gcd inputs=[2, 29];nonnegative initial pair=[2, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[2, 29, 0, 2], [29, 2, 14, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 Euler residue representative3:ORIGINAL gcd inputs=[3, 29];nonnegative initial pair=[3, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[3, 29, 0, 3], [29, 3, 9, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Euler residue representative4:ORIGINAL gcd inputs=[4, 29];nonnegative initial pair=[4, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[4, 29, 0, 4], [29, 4, 7, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 Euler residue representative5:ORIGINAL gcd inputs=[5, 29];nonnegative initial pair=[5, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[5, 29, 0, 5], [29, 5, 5, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Euler residue representative6:ORIGINAL gcd inputs=[6, 29];nonnegative initial pair=[6, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[6, 29, 0, 6], [29, 6, 4, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Euler residue representative7:ORIGINAL gcd inputs=[7, 29];nonnegative initial pair=[7, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[7, 29, 0, 7], [29, 7, 4, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 Euler residue representative8:ORIGINAL gcd inputs=[8, 29];nonnegative initial pair=[8, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[8, 29, 0, 8], [29, 8, 3, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 Euler residue representative9:ORIGINAL gcd inputs=[9, 29];nonnegative initial pair=[9, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[9, 29, 0, 9], [29, 9, 3, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 Euler residue representative10:ORIGINAL gcd inputs=[10, 29];nonnegative initial pair=[10, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[10, 29, 0, 10], [29, 10, 2, 9], [10, 9, 1, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 Euler residue representative11:ORIGINAL gcd inputs=[11, 29];nonnegative initial pair=[11, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[11, 29, 0, 11], [29, 11, 2, 7], [11, 7, 1, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Euler residue representative12:ORIGINAL gcd inputs=[12, 29];nonnegative initial pair=[12, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[12, 29, 0, 12], [29, 12, 2, 5], [12, 5, 2, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Euler residue representative13:ORIGINAL gcd inputs=[13, 29];nonnegative initial pair=[13, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[13, 29, 0, 13], [29, 13, 2, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 Euler residue representative14:ORIGINAL gcd inputs=[14, 29];nonnegative initial pair=[14, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[14, 29, 0, 14], [29, 14, 2, 1], [14, 1, 14, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 Euler residue representative15:ORIGINAL gcd inputs=[15, 29];nonnegative initial pair=[15, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[15, 29, 0, 15], [29, 15, 1, 14], [15, 14, 1, 1], [14, 1, 14, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 Euler residue representative16:ORIGINAL gcd inputs=[16, 29];nonnegative initial pair=[16, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[16, 29, 0, 16], [29, 16, 1, 13], [16, 13, 1, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Euler residue representative17:ORIGINAL gcd inputs=[17, 29];nonnegative initial pair=[17, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[17, 29, 0, 17], [29, 17, 1, 12], [17, 12, 1, 5], [12, 5, 2, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Euler residue representative18:ORIGINAL gcd inputs=[18, 29];nonnegative initial pair=[18, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[18, 29, 0, 18], [29, 18, 1, 11], [18, 11, 1, 7], [11, 7, 1, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 Euler residue representative19:ORIGINAL gcd inputs=[19, 29];nonnegative initial pair=[19, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[19, 29, 0, 19], [29, 19, 1, 10], [19, 10, 1, 9], [10, 9, 1, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 Euler residue representative20:ORIGINAL gcd inputs=[20, 29];nonnegative initial pair=[20, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[20, 29, 0, 20], [29, 20, 1, 9], [20, 9, 2, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 Euler residue representative21:ORIGINAL gcd inputs=[21, 29];nonnegative initial pair=[21, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[21, 29, 0, 21], [29, 21, 1, 8], [21, 8, 2, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 Euler residue representative22:ORIGINAL gcd inputs=[22, 29];nonnegative initial pair=[22, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[22, 29, 0, 22], [29, 22, 1, 7], [22, 7, 3, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Euler residue representative23:ORIGINAL gcd inputs=[23, 29];nonnegative initial pair=[23, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[23, 29, 0, 23], [29, 23, 1, 6], [23, 6, 3, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 Euler residue representative24:ORIGINAL gcd inputs=[24, 29];nonnegative initial pair=[24, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[24, 29, 0, 24], [29, 24, 1, 5], [24, 5, 4, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 Euler residue representative25:ORIGINAL gcd inputs=[25, 29];nonnegative initial pair=[25, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[25, 29, 0, 25], [29, 25, 1, 4], [25, 4, 6, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 Euler residue representative26:ORIGINAL gcd inputs=[26, 29];nonnegative initial pair=[26, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[26, 29, 0, 26], [29, 26, 1, 3], [26, 3, 8, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 Euler residue representative27:ORIGINAL gcd inputs=[27, 29];nonnegative initial pair=[27, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[27, 29, 0, 27], [29, 27, 1, 2], [27, 2, 13, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 Euler residue representative28:ORIGINAL gcd inputs=[28, 29];nonnegative initial pair=[28, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[28, 29, 0, 28], [29, 28, 1, 1], [28, 1, 28, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euler complete reduced residue count phi := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Euler complete reduced residue count phi = 28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 COMPLETE original residue carrier0..28;ALL [representative,gcd,unit] rows=[[0, 29, 否], [1, 1, 是], [2, 1, 是], [3, 1, 是], [4, 1, 是], [5, 1, 是], [6, 1, 是], [7, 1, 是], [8, 1, 是], [9, 1, 是], [10, 1, 是], [11, 1, 是], [12, 1, 是], [13, 1, 是], [14, 1, 是], [15, 1, 是], [16, 1, 是], [17, 1, 是], [18, 1, 是], [19, 1, 是], [20, 1, 是], [21, 1, 是], [22, 1, 是], [23, 1, 是], [24, 1, 是], [25, 1, 是], [26, 1, 是], [27, 1, 是], [28, 1, 是]] 操作後 increasing COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28];phi(n)=28;source count over1..n agrees because0 and n are BOTH nonunits for n>=2 條件：無 逐所有代表判gcd1而得完整單位元集合，1必在其中。來源φ用1..n而unit list用0..n−1；因n≥2，換出的0與n都非單位元，計數一致，不擅自把n當prime。 步驟識別與依賴規則：euler_full_units_totient_count_convention_not_prime_only · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 ORIGINAL normalized base=26;COMPLETE totient exponent=28;modulus=29 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=phi;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to the original totient power 條件：無 以有限次平方乘法保原φ次方同餘，不建立龐大普通整數冪。φ是完整單位元數，不把它換成n−1除非另外證n為prime。 步驟識別與依賴規則：euler_totient_power_initial_exact_invariant · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Euler power bit0 base square := mul(26, 26) 操作後 Euler power bit0 base square = 676 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euler power bit0 squared-base reduction exact quotient := div(676, 29) 操作後 Euler power bit0 squared-base reduction exact quotient = 676/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euler power bit0 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(23, 29) 操作後 Euler power bit0 squared-base reduction floor quotient multiple = 667 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Euler power bit0 squared-base reduction normalized remainder := sub(676, 667) 操作後 Euler power bit0 squared-base reduction normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 Euler power bit0 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=676;modulus=29;exact ratio=676/29;floor quotient=23 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=9 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 26, 28];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 9, 14];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Euler power bit1 base square := mul(9, 9) 操作後 Euler power bit1 base square = 81 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euler power bit1 squared-base reduction exact quotient := div(81, 29) 操作後 Euler power bit1 squared-base reduction exact quotient = 81/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Euler power bit1 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(2, 29) 操作後 Euler power bit1 squared-base reduction floor quotient multiple = 58 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Euler power bit1 squared-base reduction normalized remainder := sub(81, 58) 操作後 Euler power bit1 squared-base reduction normalized remainder = 23 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · implies操作前 Euler power bit1 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=81;modulus=29;exact ratio=81/29;floor quotient=2 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=23 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 9, 14];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 23, 7];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Euler power bit2 accumulator product := mul(1, 23) 操作後 Euler power bit2 accumulator product = 23 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euler power bit2 accumulator reduction exact quotient := div(23, 29) 操作後 Euler power bit2 accumulator reduction exact quotient = 23/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Euler power bit2 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 29) 操作後 Euler power bit2 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Euler power bit2 accumulator reduction normalized remainder := sub(23, 0) 操作後 Euler power bit2 accumulator reduction normalized remainder = 23 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · implies操作前 Euler power bit2 accumulator reduction:ORIGINAL signed integer=23;modulus=29;exact ratio=23/29;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=23 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Euler power bit2 base square := mul(23, 23) 操作後 Euler power bit2 base square = 529 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Euler power bit2 squared-base reduction exact quotient := div(529, 29) 操作後 Euler power bit2 squared-base reduction exact quotient = 529/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Euler power bit2 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(18, 29) 操作後 Euler power bit2 squared-base reduction floor quotient multiple = 522 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Euler power bit2 squared-base reduction normalized remainder := sub(529, 522) 操作後 Euler power bit2 squared-base reduction normalized remainder = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · implies操作前 Euler power bit2 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=529;modulus=29;exact ratio=529/29;floor quotient=18 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=7 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S059 S061 · implies操作前 step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 23, 7];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[23, 7, 3];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Euler power bit3 accumulator product := mul(23, 7) 操作後 Euler power bit3 accumulator product = 161 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Euler power bit3 accumulator reduction exact quotient := div(161, 29) 操作後 Euler power bit3 accumulator reduction exact quotient = 161/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Euler power bit3 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(5, 29) 操作後 Euler power bit3 accumulator reduction floor quotient multiple = 145 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Euler power bit3 accumulator reduction normalized remainder := sub(161, 145) 操作後 Euler power bit3 accumulator reduction normalized remainder = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · implies操作前 Euler power bit3 accumulator reduction:ORIGINAL signed integer=161;modulus=29;exact ratio=161/29;floor quotient=5 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=16 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Euler power bit3 base square := mul(7, 7) 操作後 Euler power bit3 base square = 49 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · calculation操作前 Euler power bit3 squared-base reduction exact quotient := div(49, 29) 操作後 Euler power bit3 squared-base reduction exact quotient = 49/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Euler power bit3 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(1, 29) 操作後 Euler power bit3 squared-base reduction floor quotient multiple = 29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Euler power bit3 squared-base reduction normalized remainder := sub(49, 29) 操作後 Euler power bit3 squared-base reduction normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · implies操作前 Euler power bit3 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=49;modulus=29;exact ratio=49/29;floor quotient=1 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=20 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S070 S072 · implies操作前 step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[23, 7, 3];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[16, 20, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator product := mul(16, 20) 操作後 Euler power bit4 accumulator product = 320 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator reduction exact quotient := div(320, 29) 操作後 Euler power bit4 accumulator reduction exact quotient = 320/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(11, 29) 操作後 Euler power bit4 accumulator reduction floor quotient multiple = 319 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator reduction normalized remainder := sub(320, 319) 操作後 Euler power bit4 accumulator reduction normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · implies操作前 Euler power bit4 accumulator reduction:ORIGINAL signed integer=320;modulus=29;exact ratio=320/29;floor quotient=11 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S076 S078 · calculation操作前 Euler power bit4 base square := mul(20, 20) 操作後 Euler power bit4 base square = 400 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Euler power bit4 squared-base reduction exact quotient := div(400, 29) 操作後 Euler power bit4 squared-base reduction exact quotient = 400/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Euler power bit4 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(13, 29) 操作後 Euler power bit4 squared-base reduction floor quotient multiple = 377 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Euler power bit4 squared-base reduction normalized remainder := sub(400, 377) 操作後 Euler power bit4 squared-base reduction normalized remainder = 23 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · implies操作前 Euler power bit4 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=400;modulus=29;exact ratio=400/29;floor quotient=13 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=23 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[16, 20, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 23, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S082 S084 · implies操作前 remaining exponent0;final normalized accumulator=1 操作後 EXACT original normalized base^28 modulo29=1 條件：無 不變式終止後給原φ次方餘數；這是指定modulus的算術結果，不是primality certificate。 步驟識別與依賴規則：euler_totient_power_terminal_congruence_not_primality · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Euler ACTUAL base-unit inverse product := mul(26, 19) 操作後 Euler ACTUAL base-unit inverse product = 494 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check exact quotient := div(494, 29) 操作後 Euler ACTUAL inverse check exact quotient = 494/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple := mul(17, 29) 操作後 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple = 493 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder := sub(494, 493) 操作後 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087 S089 · implies操作前 Euler ACTUAL inverse check:ORIGINAL signed integer=494;modulus=29;exact ratio=494/29;floor quotient=17 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S088 S090 · implies操作前 ACTUAL modulus n=29;gcd(original a=26,n)=1;normalized base=26;ACTUAL inverse=19;COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] 操作後 for ANY r in U(n),a*r remains a unit;actual inverse makes multiplication injective;finite self-injection on U(n) is surjective,so a*U(n)=U(n) 條件：無 單位元乘積的inverse可由反序inverse相乘給出，故乘a留U(n)；用a的真inverse消去得單射，有限同載體推出滿射。n可以是合數；不能把全部非零residue當單位元。 步驟識別與依賴規則：euler_all_unit_residue_permutation_composite_allowed · 依賴：G001, S089 S091 · implies操作前 SAME complete U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] of size phi=28;multiplication by original a=26 permutes it 操作後 multiply ALL unit images:a^(28)*product(U) congruent product(U);EVERY U factor is a UNIT,so product(U) has reverse-product inverse;cancel ONLY this unit to get a^phi congruent1 modulo29 條件：無 有限乘積是同一unit集合的排列，故相等；prod(U)是unit才可消去。這不是對合數模數的所有非零元素取消，也不是對0取消；沒有prime前提，Euler congruence通過不給prime converse。 步驟識別與依賴規則：euler_complete_unit_product_cancellation_not_nonzero_factorial · 依賴：G001, S090 ## 逐步反向核對 - S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder，不以小數近似替代。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check exact quotient，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL base-unit inverse product，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 base square，不以小數近似替代。 - S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator product，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 base square，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 accumulator product，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 base square，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 accumulator product，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 base square，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 base square，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler complete reduced residue count phi，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (29, 26, 28, 1, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 568586b8180bfc83c31faa4e4fdfa5a145dc25bde792d14906a6179081f1cdea - candidate record SHA-256: b5004403eff4bb928765e1f51b5abf886f0542f37b860f0aa6969660886fb461 - semantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034 - question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0025.json)