# 第 20077 題：Euler定理 [返回所在分頁 101](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/101/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0027) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0039-20077 · q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0027 ## 原題與已知條件 n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-unit-permutation；資料={"n":6,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-unit-permutation；資料={"n":6,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euler-theorem-number-theory](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=eulerthm-unit-permutation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[units, sorted_mapped_units, permutation, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient := div(5, 6) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient = 5/6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple := mul(0, 6) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder := sub(5, 0) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization:ORIGINAL signed integer=5;modulus=6;exact ratio=5/6;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=5 in[0,6);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Euler ORIGINAL base applicability gcd:ORIGINAL gcd inputs=[5, 6];nonnegative initial pair=[5, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[5, 6, 0, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Euler residue representative0:ORIGINAL gcd inputs=[0, 6];nonnegative initial pair=[0, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[0, 6, 0, 0]];terminal gcd=6 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Euler residue representative1:ORIGINAL gcd inputs=[1, 6];nonnegative initial pair=[1, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[1, 6, 0, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Euler residue representative2:ORIGINAL gcd inputs=[2, 6];nonnegative initial pair=[2, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[2, 6, 0, 2], [6, 2, 3, 0]];terminal gcd=2 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 Euler residue representative3:ORIGINAL gcd inputs=[3, 6];nonnegative initial pair=[3, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[3, 6, 0, 3], [6, 3, 2, 0]];terminal gcd=3 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Euler residue representative4:ORIGINAL gcd inputs=[4, 6];nonnegative initial pair=[4, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[4, 6, 0, 4], [6, 4, 1, 2], [4, 2, 2, 0]];terminal gcd=2 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 Euler residue representative5:ORIGINAL gcd inputs=[5, 6];nonnegative initial pair=[5, 6] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[5, 6, 0, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Euler complete reduced residue count phi := sum(1, 1) 操作後 Euler complete reduced residue count phi = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 COMPLETE original residue carrier0..5;ALL [representative,gcd,unit] rows=[[0, 6, 否], [1, 1, 是], [2, 2, 否], [3, 3, 否], [4, 2, 否], [5, 1, 是]] 操作後 increasing COMPLETE U(n)=[1, 5];phi(n)=2;source count over1..n agrees because0 and n are BOTH nonunits for n>=2 條件：無 逐所有代表判gcd1而得完整單位元集合，1必在其中。來源φ用1..n而unit list用0..n−1；因n≥2，換出的0與n都非單位元，計數一致，不擅自把n當prime。 步驟識別與依賴規則：euler_full_units_totient_count_convention_not_prime_only · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Euler ACTUAL base-unit inverse product := mul(5, 5) 操作後 Euler ACTUAL base-unit inverse product = 25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check exact quotient := div(25, 6) 操作後 Euler ACTUAL inverse check exact quotient = 25/6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple := mul(4, 6) 操作後 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder := sub(25, 24) 操作後 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Euler ACTUAL inverse check:ORIGINAL signed integer=25;modulus=6;exact ratio=25/6;floor quotient=4 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,6);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ACTUAL modulus n=6;gcd(original a=5,n)=1;normalized base=5;ACTUAL inverse=5;COMPLETE U(n)=[1, 5] 操作後 for ANY r in U(n),a*r remains a unit;actual inverse makes multiplication injective;finite self-injection on U(n) is surjective,so a*U(n)=U(n) 條件：無 單位元乘積的inverse可由反序inverse相乘給出，故乘a留U(n)；用a的真inverse消去得單射，有限同載體推出滿射。n可以是合數；不能把全部非零residue當單位元。 步驟識別與依賴規則：euler_all_unit_residue_permutation_composite_allowed · 依賴：G001, S019 S021 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative1 := mul(5, 1) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative1 = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image exact quotient := div(5, 6) 操作後 Euler unit representative1 raw image exact quotient = 5/6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple := mul(0, 6) 操作後 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image normalized remainder := sub(5, 0) 操作後 Euler unit representative1 raw image normalized remainder = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Euler unit representative1 raw image:ORIGINAL signed integer=5;modulus=6;exact ratio=5/6;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=5 in[0,6);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative5 := mul(5, 5) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative5 = 25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image exact quotient := div(25, 6) 操作後 Euler unit representative5 raw image exact quotient = 25/6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple := mul(4, 6) 操作後 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image normalized remainder := sub(25, 24) 操作後 Euler unit representative5 raw image normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Euler unit representative5 raw image:ORIGINAL signed integer=25;modulus=6;exact ratio=25/6;floor quotient=4 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,6);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 COMPLETE original increasing U(n)=[1, 5];actual images in ORIGINAL unit order=[5, 1] 操作後 SOURCE output sorts the mapped list numerically=[1, 5];full-list equality=是;not a claim each point is fixed 條件：無 來源第二欄是排序後的完整像清單，非原unit順序的逐點像；相等證permutation，不代表乘a是identity。原始點像在本步另列，不靜默混同。 步驟識別與依賴規則：euler_sorted_mapped_units_not_original_image_order_or_identity · 依賴：G001, S030 ## 逐步反向核對 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative5，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative1，不以小數近似替代。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check exact quotient，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL base-unit inverse product，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler complete reduced residue count phi，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 5], [1, 5], 是, multiplication_by_a_permutes_reduced_residues) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1e9b1c40b265ca4c6fa51a88ef5d05d1912cf95022ec96cc15dd13e90868429b - candidate record SHA-256: 0e93ab036d6c2d6607a07a46a971c8d8e17212a58cd1080acc100cba694df762 - semantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034 - question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0027.json)