# 第 20090 題：Euler定理 [返回所在分頁 101](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/101/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0040) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0039-20090 · q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0040 ## 原題與已知條件 n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-unit-permutation；資料={"n":19,"a":16}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-unit-permutation；資料={"n":19,"a":16}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euler-theorem-number-theory](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=eulerthm-unit-permutation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[units, sorted_mapped_units, permutation, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient := div(16, 19) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient = 16/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple := mul(0, 19) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder := sub(16, 0) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization:ORIGINAL signed integer=16;modulus=19;exact ratio=16/19;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=16 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Euler ORIGINAL base applicability gcd:ORIGINAL gcd inputs=[16, 19];nonnegative initial pair=[16, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[16, 19, 0, 16], [19, 16, 1, 3], [16, 3, 5, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Euler residue representative0:ORIGINAL gcd inputs=[0, 19];nonnegative initial pair=[0, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[0, 19, 0, 0]];terminal gcd=19 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Euler residue representative1:ORIGINAL gcd inputs=[1, 19];nonnegative initial pair=[1, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[1, 19, 0, 1], [19, 1, 19, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Euler residue representative2:ORIGINAL gcd inputs=[2, 19];nonnegative initial pair=[2, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[2, 19, 0, 2], [19, 2, 9, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 Euler residue representative3:ORIGINAL gcd inputs=[3, 19];nonnegative initial pair=[3, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[3, 19, 0, 3], [19, 3, 6, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Euler residue representative4:ORIGINAL gcd inputs=[4, 19];nonnegative initial pair=[4, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[4, 19, 0, 4], [19, 4, 4, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 Euler residue representative5:ORIGINAL gcd inputs=[5, 19];nonnegative initial pair=[5, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[5, 19, 0, 5], [19, 5, 3, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Euler residue representative6:ORIGINAL gcd inputs=[6, 19];nonnegative initial pair=[6, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[6, 19, 0, 6], [19, 6, 3, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Euler residue representative7:ORIGINAL gcd inputs=[7, 19];nonnegative initial pair=[7, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[7, 19, 0, 7], [19, 7, 2, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 Euler residue representative8:ORIGINAL gcd inputs=[8, 19];nonnegative initial pair=[8, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[8, 19, 0, 8], [19, 8, 2, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 Euler residue representative9:ORIGINAL gcd inputs=[9, 19];nonnegative initial pair=[9, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[9, 19, 0, 9], [19, 9, 2, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 Euler residue representative10:ORIGINAL gcd inputs=[10, 19];nonnegative initial pair=[10, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[10, 19, 0, 10], [19, 10, 1, 9], [10, 9, 1, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 Euler residue representative11:ORIGINAL gcd inputs=[11, 19];nonnegative initial pair=[11, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[11, 19, 0, 11], [19, 11, 1, 8], [11, 8, 1, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Euler residue representative12:ORIGINAL gcd inputs=[12, 19];nonnegative initial pair=[12, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[12, 19, 0, 12], [19, 12, 1, 7], [12, 7, 1, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Euler residue representative13:ORIGINAL gcd inputs=[13, 19];nonnegative initial pair=[13, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[13, 19, 0, 13], [19, 13, 1, 6], [13, 6, 2, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 Euler residue representative14:ORIGINAL gcd inputs=[14, 19];nonnegative initial pair=[14, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[14, 19, 0, 14], [19, 14, 1, 5], [14, 5, 2, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 Euler residue representative15:ORIGINAL gcd inputs=[15, 19];nonnegative initial pair=[15, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[15, 19, 0, 15], [19, 15, 1, 4], [15, 4, 3, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 Euler residue representative16:ORIGINAL gcd inputs=[16, 19];nonnegative initial pair=[16, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[16, 19, 0, 16], [19, 16, 1, 3], [16, 3, 5, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Euler residue representative17:ORIGINAL gcd inputs=[17, 19];nonnegative initial pair=[17, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[17, 19, 0, 17], [19, 17, 1, 2], [17, 2, 8, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Euler residue representative18:ORIGINAL gcd inputs=[18, 19];nonnegative initial pair=[18, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[18, 19, 0, 18], [19, 18, 1, 1], [18, 1, 18, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Euler complete reduced residue count phi := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Euler complete reduced residue count phi = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 COMPLETE original residue carrier0..18;ALL [representative,gcd,unit] rows=[[0, 19, 否], [1, 1, 是], [2, 1, 是], [3, 1, 是], [4, 1, 是], [5, 1, 是], [6, 1, 是], [7, 1, 是], [8, 1, 是], [9, 1, 是], [10, 1, 是], [11, 1, 是], [12, 1, 是], [13, 1, 是], [14, 1, 是], [15, 1, 是], [16, 1, 是], [17, 1, 是], [18, 1, 是]] 操作後 increasing COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18];phi(n)=18;source count over1..n agrees because0 and n are BOTH nonunits for n>=2 條件：無 逐所有代表判gcd1而得完整單位元集合，1必在其中。來源φ用1..n而unit list用0..n−1；因n≥2，換出的0與n都非單位元，計數一致，不擅自把n當prime。 步驟識別與依賴規則：euler_full_units_totient_count_convention_not_prime_only · 依賴：G001, S026 S028 · calculation操作前 Euler ACTUAL base-unit inverse product := mul(16, 6) 操作後 Euler ACTUAL base-unit inverse product = 96 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check exact quotient := div(96, 19) 操作後 Euler ACTUAL inverse check exact quotient = 96/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple := mul(5, 19) 操作後 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple = 95 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder := sub(96, 95) 操作後 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 Euler ACTUAL inverse check:ORIGINAL signed integer=96;modulus=19;exact ratio=96/19;floor quotient=5 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 ACTUAL modulus n=19;gcd(original a=16,n)=1;normalized base=16;ACTUAL inverse=6;COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] 操作後 for ANY r in U(n),a*r remains a unit;actual inverse makes multiplication injective;finite self-injection on U(n) is surjective,so a*U(n)=U(n) 條件：無 單位元乘積的inverse可由反序inverse相乘給出，故乘a留U(n)；用a的真inverse消去得單射，有限同載體推出滿射。n可以是合數；不能把全部非零residue當單位元。 步驟識別與依賴規則：euler_all_unit_residue_permutation_composite_allowed · 依賴：G001, S032 S034 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative1 := mul(16, 1) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative1 = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image exact quotient := div(16, 19) 操作後 Euler unit representative1 raw image exact quotient = 16/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple := mul(0, 19) 操作後 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image normalized remainder := sub(16, 0) 操作後 Euler unit representative1 raw image normalized remainder = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · implies操作前 Euler unit representative1 raw image:ORIGINAL signed integer=16;modulus=19;exact ratio=16/19;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=16 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative2 := mul(16, 2) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative2 = 32 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euler unit representative2 raw image exact quotient := div(32, 19) 操作後 Euler unit representative2 raw image exact quotient = 32/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euler unit representative2 raw image floor quotient multiple := mul(1, 19) 操作後 Euler unit representative2 raw image floor quotient multiple = 19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Euler unit representative2 raw image normalized remainder := sub(32, 19) 操作後 Euler unit representative2 raw image normalized remainder = 13 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 Euler unit representative2 raw image:ORIGINAL signed integer=32;modulus=19;exact ratio=32/19;floor quotient=1 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=13 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative3 := mul(16, 3) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative3 = 48 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Euler unit representative3 raw image exact quotient := div(48, 19) 操作後 Euler unit representative3 raw image exact quotient = 48/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euler unit representative3 raw image floor quotient multiple := mul(2, 19) 操作後 Euler unit representative3 raw image floor quotient multiple = 38 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Euler unit representative3 raw image normalized remainder := sub(48, 38) 操作後 Euler unit representative3 raw image normalized remainder = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 Euler unit representative3 raw image:ORIGINAL signed integer=48;modulus=19;exact ratio=48/19;floor quotient=2 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=10 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative4 := mul(16, 4) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative4 = 64 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Euler unit representative4 raw image exact quotient := div(64, 19) 操作後 Euler unit representative4 raw image exact quotient = 64/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Euler unit representative4 raw image floor quotient multiple := mul(3, 19) 操作後 Euler unit representative4 raw image floor quotient multiple = 57 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euler unit representative4 raw image normalized remainder := sub(64, 57) 操作後 Euler unit representative4 raw image normalized remainder = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Euler unit representative4 raw image:ORIGINAL signed integer=64;modulus=19;exact ratio=64/19;floor quotient=3 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=7 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative5 := mul(16, 5) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative5 = 80 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image exact quotient := div(80, 19) 操作後 Euler unit representative5 raw image exact quotient = 80/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple := mul(4, 19) 操作後 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple = 76 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image normalized remainder := sub(80, 76) 操作後 Euler unit representative5 raw image normalized remainder = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 Euler unit representative5 raw image:ORIGINAL signed integer=80;modulus=19;exact ratio=80/19;floor quotient=4 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=4 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative6 := mul(16, 6) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative6 = 96 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Euler unit representative6 raw image exact quotient := div(96, 19) 操作後 Euler unit representative6 raw image exact quotient = 96/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Euler unit representative6 raw image floor quotient multiple := mul(5, 19) 操作後 Euler unit representative6 raw image floor quotient multiple = 95 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Euler unit representative6 raw image normalized remainder := sub(96, 95) 操作後 Euler unit representative6 raw image normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 Euler unit representative6 raw image:ORIGINAL signed integer=96;modulus=19;exact ratio=96/19;floor quotient=5 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative7 := mul(16, 7) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative7 = 112 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Euler unit representative7 raw image exact quotient := div(112, 19) 操作後 Euler unit representative7 raw image exact quotient = 112/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Euler unit representative7 raw image floor quotient multiple := mul(5, 19) 操作後 Euler unit representative7 raw image floor quotient multiple = 95 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Euler unit representative7 raw image normalized remainder := sub(112, 95) 操作後 Euler unit representative7 raw image normalized remainder = 17 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 Euler unit representative7 raw image:ORIGINAL signed integer=112;modulus=19;exact ratio=112/19;floor quotient=5 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=17 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative8 := mul(16, 8) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative8 = 128 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Euler unit representative8 raw image exact quotient := div(128, 19) 操作後 Euler unit representative8 raw image exact quotient = 128/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Euler unit representative8 raw image floor quotient multiple := mul(6, 19) 操作後 Euler unit representative8 raw image floor quotient multiple = 114 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Euler unit representative8 raw image normalized remainder := sub(128, 114) 操作後 Euler unit representative8 raw image normalized remainder = 14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 Euler unit representative8 raw image:ORIGINAL signed integer=128;modulus=19;exact ratio=128/19;floor quotient=6 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=14 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative9 := mul(16, 9) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative9 = 144 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Euler unit representative9 raw image exact quotient := div(144, 19) 操作後 Euler unit representative9 raw image exact quotient = 144/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Euler unit representative9 raw image floor quotient multiple := mul(7, 19) 操作後 Euler unit representative9 raw image floor quotient multiple = 133 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Euler unit representative9 raw image normalized remainder := sub(144, 133) 操作後 Euler unit representative9 raw image normalized remainder = 11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 Euler unit representative9 raw image:ORIGINAL signed integer=144;modulus=19;exact ratio=144/19;floor quotient=7 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=11 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative10 := mul(16, 10) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative10 = 160 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Euler unit representative10 raw image exact quotient := div(160, 19) 操作後 Euler unit representative10 raw image exact quotient = 160/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Euler unit representative10 raw image floor quotient multiple := mul(8, 19) 操作後 Euler unit representative10 raw image floor quotient multiple = 152 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Euler unit representative10 raw image normalized remainder := sub(160, 152) 操作後 Euler unit representative10 raw image normalized remainder = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 Euler unit representative10 raw image:ORIGINAL signed integer=160;modulus=19;exact ratio=160/19;floor quotient=8 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=8 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative11 := mul(16, 11) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative11 = 176 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Euler unit representative11 raw image exact quotient := div(176, 19) 操作後 Euler unit representative11 raw image exact quotient = 176/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Euler unit representative11 raw image floor quotient multiple := mul(9, 19) 操作後 Euler unit representative11 raw image floor quotient multiple = 171 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Euler unit representative11 raw image normalized remainder := sub(176, 171) 操作後 Euler unit representative11 raw image normalized remainder = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 Euler unit representative11 raw image:ORIGINAL signed integer=176;modulus=19;exact ratio=176/19;floor quotient=9 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=5 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative12 := mul(16, 12) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative12 = 192 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Euler unit representative12 raw image exact quotient := div(192, 19) 操作後 Euler unit representative12 raw image exact quotient = 192/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Euler unit representative12 raw image floor quotient multiple := mul(10, 19) 操作後 Euler unit representative12 raw image floor quotient multiple = 190 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Euler unit representative12 raw image normalized remainder := sub(192, 190) 操作後 Euler unit representative12 raw image normalized remainder = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 Euler unit representative12 raw image:ORIGINAL signed integer=192;modulus=19;exact ratio=192/19;floor quotient=10 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=2 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative13 := mul(16, 13) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative13 = 208 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Euler unit representative13 raw image exact quotient := div(208, 19) 操作後 Euler unit representative13 raw image exact quotient = 208/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 Euler unit representative13 raw image floor quotient multiple := mul(10, 19) 操作後 Euler unit representative13 raw image floor quotient multiple = 190 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Euler unit representative13 raw image normalized remainder := sub(208, 190) 操作後 Euler unit representative13 raw image normalized remainder = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 Euler unit representative13 raw image:ORIGINAL signed integer=208;modulus=19;exact ratio=208/19;floor quotient=10 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=18 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative14 := mul(16, 14) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative14 = 224 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Euler unit representative14 raw image exact quotient := div(224, 19) 操作後 Euler unit representative14 raw image exact quotient = 224/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Euler unit representative14 raw image floor quotient multiple := mul(11, 19) 操作後 Euler unit representative14 raw image floor quotient multiple = 209 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Euler unit representative14 raw image normalized remainder := sub(224, 209) 操作後 Euler unit representative14 raw image normalized remainder = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · implies操作前 Euler unit representative14 raw image:ORIGINAL signed integer=224;modulus=19;exact ratio=224/19;floor quotient=11 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=15 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative15 := mul(16, 15) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative15 = 240 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Euler unit representative15 raw image exact quotient := div(240, 19) 操作後 Euler unit representative15 raw image exact quotient = 240/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Euler unit representative15 raw image floor quotient multiple := mul(12, 19) 操作後 Euler unit representative15 raw image floor quotient multiple = 228 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Euler unit representative15 raw image normalized remainder := sub(240, 228) 操作後 Euler unit representative15 raw image normalized remainder = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · implies操作前 Euler unit representative15 raw image:ORIGINAL signed integer=240;modulus=19;exact ratio=240/19;floor quotient=12 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=12 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative16 := mul(16, 16) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative16 = 256 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Euler unit representative16 raw image exact quotient := div(256, 19) 操作後 Euler unit representative16 raw image exact quotient = 256/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Euler unit representative16 raw image floor quotient multiple := mul(13, 19) 操作後 Euler unit representative16 raw image floor quotient multiple = 247 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Euler unit representative16 raw image normalized remainder := sub(256, 247) 操作後 Euler unit representative16 raw image normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · implies操作前 Euler unit representative16 raw image:ORIGINAL signed integer=256;modulus=19;exact ratio=256/19;floor quotient=13 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=9 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative17 := mul(16, 17) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative17 = 272 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Euler unit representative17 raw image exact quotient := div(272, 19) 操作後 Euler unit representative17 raw image exact quotient = 272/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 Euler unit representative17 raw image floor quotient multiple := mul(14, 19) 操作後 Euler unit representative17 raw image floor quotient multiple = 266 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Euler unit representative17 raw image normalized remainder := sub(272, 266) 操作後 Euler unit representative17 raw image normalized remainder = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 Euler unit representative17 raw image:ORIGINAL signed integer=272;modulus=19;exact ratio=272/19;floor quotient=14 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=6 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative18 := mul(16, 18) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative18 = 288 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 Euler unit representative18 raw image exact quotient := div(288, 19) 操作後 Euler unit representative18 raw image exact quotient = 288/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Euler unit representative18 raw image floor quotient multiple := mul(15, 19) 操作後 Euler unit representative18 raw image floor quotient multiple = 285 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 Euler unit representative18 raw image normalized remainder := sub(288, 285) 操作後 Euler unit representative18 raw image normalized remainder = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · implies操作前 Euler unit representative18 raw image:ORIGINAL signed integer=288;modulus=19;exact ratio=288/19;floor quotient=15 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=3 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S122 S124 · implies操作前 COMPLETE original increasing U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18];actual images in ORIGINAL unit order=[16, 13, 10, 7, 4, 1, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 18, 15, 12, 9, 6, 3] 操作後 SOURCE output sorts the mapped list numerically=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18];full-list equality=是;not a claim each point is fixed 條件：無 來源第二欄是排序後的完整像清單，非原unit順序的逐點像；相等證permutation，不代表乘a是identity。原始點像在本步另列，不靜默混同。 步驟識別與依賴規則：euler_sorted_mapped_units_not_original_image_order_or_identity · 依賴：G001, S123 ## 逐步反向核對 - S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative18 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative18 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative18 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative18，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative17 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative17 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative17 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative17，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative16 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative16 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative16 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative16，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative15 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative15 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative15 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative15，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative14 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative14 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative14 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative14，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative13 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative13 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative13 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative13，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative12 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative12 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative12 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative12，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative11 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative11 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative11 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative11，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative10 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative10 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative10 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative10，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative9 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative9 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative9 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative9，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative8 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative8 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative8 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative8，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative7 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative7 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative7 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative7，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative6 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative6 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative6 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative6，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative5，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative4 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative4 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative4 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative4，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative3 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative3 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative3 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative3，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative2 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative2 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative2 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative2，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative1，不以小數近似替代。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check exact quotient，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL base-unit inverse product，不以小數近似替代。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler complete reduced residue count phi，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], 是, multiplication_by_a_permutes_reduced_residues) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8783b0096e30d973c3286559eeb4705fe7e83f39042b71be9e1bc168d253cb0b - candidate record SHA-256: 311db1eb40f5e4d844bdc01970d714522b812424f253d04d7a27a6417a6dbcbe - semantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034 - question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0040.json)