# 第 20100 題：Euler定理 [返回所在分頁 101](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/101/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0050) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0039-20100 · q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0050 ## 原題與已知條件 n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-unit-permutation；資料={"n":29,"a":26}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-unit-permutation；資料={"n":29,"a":26}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euler-theorem-number-theory](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=eulerthm-unit-permutation;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[units, sorted_mapped_units, permutation, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient := div(26, 29) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient = 26/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple := mul(0, 29) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder := sub(26, 0) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder = 26 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization:ORIGINAL signed integer=26;modulus=29;exact ratio=26/29;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=26 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Euler ORIGINAL base applicability gcd:ORIGINAL gcd inputs=[26, 29];nonnegative initial pair=[26, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[26, 29, 0, 26], [29, 26, 1, 3], [26, 3, 8, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Euler residue representative0:ORIGINAL gcd inputs=[0, 29];nonnegative initial pair=[0, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[0, 29, 0, 0]];terminal gcd=29 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Euler residue representative1:ORIGINAL gcd inputs=[1, 29];nonnegative initial pair=[1, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[1, 29, 0, 1], [29, 1, 29, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Euler residue representative2:ORIGINAL gcd inputs=[2, 29];nonnegative initial pair=[2, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[2, 29, 0, 2], [29, 2, 14, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 Euler residue representative3:ORIGINAL gcd inputs=[3, 29];nonnegative initial pair=[3, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[3, 29, 0, 3], [29, 3, 9, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Euler residue representative4:ORIGINAL gcd inputs=[4, 29];nonnegative initial pair=[4, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[4, 29, 0, 4], [29, 4, 7, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 Euler residue representative5:ORIGINAL gcd inputs=[5, 29];nonnegative initial pair=[5, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[5, 29, 0, 5], [29, 5, 5, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Euler residue representative6:ORIGINAL gcd inputs=[6, 29];nonnegative initial pair=[6, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[6, 29, 0, 6], [29, 6, 4, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Euler residue representative7:ORIGINAL gcd inputs=[7, 29];nonnegative initial pair=[7, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[7, 29, 0, 7], [29, 7, 4, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 Euler residue representative8:ORIGINAL gcd inputs=[8, 29];nonnegative initial pair=[8, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[8, 29, 0, 8], [29, 8, 3, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 Euler residue representative9:ORIGINAL gcd inputs=[9, 29];nonnegative initial pair=[9, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[9, 29, 0, 9], [29, 9, 3, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 Euler residue representative10:ORIGINAL gcd inputs=[10, 29];nonnegative initial pair=[10, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[10, 29, 0, 10], [29, 10, 2, 9], [10, 9, 1, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 Euler residue representative11:ORIGINAL gcd inputs=[11, 29];nonnegative initial pair=[11, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[11, 29, 0, 11], [29, 11, 2, 7], [11, 7, 1, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Euler residue representative12:ORIGINAL gcd inputs=[12, 29];nonnegative initial pair=[12, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[12, 29, 0, 12], [29, 12, 2, 5], [12, 5, 2, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Euler residue representative13:ORIGINAL gcd inputs=[13, 29];nonnegative initial pair=[13, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[13, 29, 0, 13], [29, 13, 2, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 Euler residue representative14:ORIGINAL gcd inputs=[14, 29];nonnegative initial pair=[14, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[14, 29, 0, 14], [29, 14, 2, 1], [14, 1, 14, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 Euler residue representative15:ORIGINAL gcd inputs=[15, 29];nonnegative initial pair=[15, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[15, 29, 0, 15], [29, 15, 1, 14], [15, 14, 1, 1], [14, 1, 14, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 Euler residue representative16:ORIGINAL gcd inputs=[16, 29];nonnegative initial pair=[16, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[16, 29, 0, 16], [29, 16, 1, 13], [16, 13, 1, 3], [13, 3, 4, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Euler residue representative17:ORIGINAL gcd inputs=[17, 29];nonnegative initial pair=[17, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[17, 29, 0, 17], [29, 17, 1, 12], [17, 12, 1, 5], [12, 5, 2, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Euler residue representative18:ORIGINAL gcd inputs=[18, 29];nonnegative initial pair=[18, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[18, 29, 0, 18], [29, 18, 1, 11], [18, 11, 1, 7], [11, 7, 1, 4], [7, 4, 1, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S024 S026 · implies操作前 Euler residue representative19:ORIGINAL gcd inputs=[19, 29];nonnegative initial pair=[19, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[19, 29, 0, 19], [29, 19, 1, 10], [19, 10, 1, 9], [10, 9, 1, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 Euler residue representative20:ORIGINAL gcd inputs=[20, 29];nonnegative initial pair=[20, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[20, 29, 0, 20], [29, 20, 1, 9], [20, 9, 2, 2], [9, 2, 4, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 Euler residue representative21:ORIGINAL gcd inputs=[21, 29];nonnegative initial pair=[21, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[21, 29, 0, 21], [29, 21, 1, 8], [21, 8, 2, 5], [8, 5, 1, 3], [5, 3, 1, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S027 S029 · implies操作前 Euler residue representative22:ORIGINAL gcd inputs=[22, 29];nonnegative initial pair=[22, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[22, 29, 0, 22], [29, 22, 1, 7], [22, 7, 3, 1], [7, 1, 7, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S028 S030 · implies操作前 Euler residue representative23:ORIGINAL gcd inputs=[23, 29];nonnegative initial pair=[23, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[23, 29, 0, 23], [29, 23, 1, 6], [23, 6, 3, 5], [6, 5, 1, 1], [5, 1, 5, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S029 S031 · implies操作前 Euler residue representative24:ORIGINAL gcd inputs=[24, 29];nonnegative initial pair=[24, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[24, 29, 0, 24], [29, 24, 1, 5], [24, 5, 4, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S030 S032 · implies操作前 Euler residue representative25:ORIGINAL gcd inputs=[25, 29];nonnegative initial pair=[25, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[25, 29, 0, 25], [29, 25, 1, 4], [25, 4, 6, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 Euler residue representative26:ORIGINAL gcd inputs=[26, 29];nonnegative initial pair=[26, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[26, 29, 0, 26], [29, 26, 1, 3], [26, 3, 8, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 Euler residue representative27:ORIGINAL gcd inputs=[27, 29];nonnegative initial pair=[27, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[27, 29, 0, 27], [29, 27, 1, 2], [27, 2, 13, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S033 S035 · implies操作前 Euler residue representative28:ORIGINAL gcd inputs=[28, 29];nonnegative initial pair=[28, 29] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[28, 29, 0, 28], [29, 28, 1, 1], [28, 1, 28, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euler complete reduced residue count phi := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Euler complete reduced residue count phi = 28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · implies操作前 COMPLETE original residue carrier0..28;ALL [representative,gcd,unit] rows=[[0, 29, 否], [1, 1, 是], [2, 1, 是], [3, 1, 是], [4, 1, 是], [5, 1, 是], [6, 1, 是], [7, 1, 是], [8, 1, 是], [9, 1, 是], [10, 1, 是], [11, 1, 是], [12, 1, 是], [13, 1, 是], [14, 1, 是], [15, 1, 是], [16, 1, 是], [17, 1, 是], [18, 1, 是], [19, 1, 是], [20, 1, 是], [21, 1, 是], [22, 1, 是], [23, 1, 是], [24, 1, 是], [25, 1, 是], [26, 1, 是], [27, 1, 是], [28, 1, 是]] 操作後 increasing COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28];phi(n)=28;source count over1..n agrees because0 and n are BOTH nonunits for n>=2 條件：無 逐所有代表判gcd1而得完整單位元集合，1必在其中。來源φ用1..n而unit list用0..n−1；因n≥2，換出的0與n都非單位元，計數一致，不擅自把n當prime。 步驟識別與依賴規則：euler_full_units_totient_count_convention_not_prime_only · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Euler ACTUAL base-unit inverse product := mul(26, 19) 操作後 Euler ACTUAL base-unit inverse product = 494 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check exact quotient := div(494, 29) 操作後 Euler ACTUAL inverse check exact quotient = 494/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple := mul(17, 29) 操作後 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple = 493 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder := sub(494, 493) 操作後 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · implies操作前 Euler ACTUAL inverse check:ORIGINAL signed integer=494;modulus=29;exact ratio=494/29;floor quotient=17 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S041 S043 · implies操作前 ACTUAL modulus n=29;gcd(original a=26,n)=1;normalized base=26;ACTUAL inverse=19;COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] 操作後 for ANY r in U(n),a*r remains a unit;actual inverse makes multiplication injective;finite self-injection on U(n) is surjective,so a*U(n)=U(n) 條件：無 單位元乘積的inverse可由反序inverse相乘給出，故乘a留U(n)；用a的真inverse消去得單射，有限同載體推出滿射。n可以是合數；不能把全部非零residue當單位元。 步驟識別與依賴規則：euler_all_unit_residue_permutation_composite_allowed · 依賴：G001, S042 S044 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative1 := mul(26, 1) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative1 = 26 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043 S045 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image exact quotient := div(26, 29) 操作後 Euler unit representative1 raw image exact quotient = 26/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple := mul(0, 29) 操作後 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Euler unit representative1 raw image normalized remainder := sub(26, 0) 操作後 Euler unit representative1 raw image normalized remainder = 26 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · implies操作前 Euler unit representative1 raw image:ORIGINAL signed integer=26;modulus=29;exact ratio=26/29;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=26 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative2 := mul(26, 2) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative2 = 52 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · calculation操作前 Euler unit representative2 raw image exact quotient := div(52, 29) 操作後 Euler unit representative2 raw image exact quotient = 52/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049 S051 · calculation操作前 Euler unit representative2 raw image floor quotient multiple := mul(1, 29) 操作後 Euler unit representative2 raw image floor quotient multiple = 29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euler unit representative2 raw image normalized remainder := sub(52, 29) 操作後 Euler unit representative2 raw image normalized remainder = 23 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · implies操作前 Euler unit representative2 raw image:ORIGINAL signed integer=52;modulus=29;exact ratio=52/29;floor quotient=1 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=23 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative3 := mul(26, 3) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative3 = 78 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Euler unit representative3 raw image exact quotient := div(78, 29) 操作後 Euler unit representative3 raw image exact quotient = 78/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · calculation操作前 Euler unit representative3 raw image floor quotient multiple := mul(2, 29) 操作後 Euler unit representative3 raw image floor quotient multiple = 58 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055 S057 · calculation操作前 Euler unit representative3 raw image normalized remainder := sub(78, 58) 操作後 Euler unit representative3 raw image normalized remainder = 20 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · implies操作前 Euler unit representative3 raw image:ORIGINAL signed integer=78;modulus=29;exact ratio=78/29;floor quotient=2 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=20 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative4 := mul(26, 4) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative4 = 104 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Euler unit representative4 raw image exact quotient := div(104, 29) 操作後 Euler unit representative4 raw image exact quotient = 104/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Euler unit representative4 raw image floor quotient multiple := mul(3, 29) 操作後 Euler unit representative4 raw image floor quotient multiple = 87 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · calculation操作前 Euler unit representative4 raw image normalized remainder := sub(104, 87) 操作後 Euler unit representative4 raw image normalized remainder = 17 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061 S063 · implies操作前 Euler unit representative4 raw image:ORIGINAL signed integer=104;modulus=29;exact ratio=104/29;floor quotient=3 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=17 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative5 := mul(26, 5) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative5 = 130 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image exact quotient := div(130, 29) 操作後 Euler unit representative5 raw image exact quotient = 130/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple := mul(4, 29) 操作後 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple = 116 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · calculation操作前 Euler unit representative5 raw image normalized remainder := sub(130, 116) 操作後 Euler unit representative5 raw image normalized remainder = 14 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 Euler unit representative5 raw image:ORIGINAL signed integer=130;modulus=29;exact ratio=130/29;floor quotient=4 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=14 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S067 S069 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative6 := mul(26, 6) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative6 = 156 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Euler unit representative6 raw image exact quotient := div(156, 29) 操作後 Euler unit representative6 raw image exact quotient = 156/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Euler unit representative6 raw image floor quotient multiple := mul(5, 29) 操作後 Euler unit representative6 raw image floor quotient multiple = 145 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Euler unit representative6 raw image normalized remainder := sub(156, 145) 操作後 Euler unit representative6 raw image normalized remainder = 11 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · implies操作前 Euler unit representative6 raw image:ORIGINAL signed integer=156;modulus=29;exact ratio=156/29;floor quotient=5 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=11 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S072 S074 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative7 := mul(26, 7) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative7 = 182 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073 S075 · calculation操作前 Euler unit representative7 raw image exact quotient := div(182, 29) 操作後 Euler unit representative7 raw image exact quotient = 182/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074 S076 · calculation操作前 Euler unit representative7 raw image floor quotient multiple := mul(6, 29) 操作後 Euler unit representative7 raw image floor quotient multiple = 174 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075 S077 · calculation操作前 Euler unit representative7 raw image normalized remainder := sub(182, 174) 操作後 Euler unit representative7 raw image normalized remainder = 8 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076 S078 · implies操作前 Euler unit representative7 raw image:ORIGINAL signed integer=182;modulus=29;exact ratio=182/29;floor quotient=6 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=8 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S077 S079 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative8 := mul(26, 8) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative8 = 208 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078 S080 · calculation操作前 Euler unit representative8 raw image exact quotient := div(208, 29) 操作後 Euler unit representative8 raw image exact quotient = 208/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079 S081 · calculation操作前 Euler unit representative8 raw image floor quotient multiple := mul(7, 29) 操作後 Euler unit representative8 raw image floor quotient multiple = 203 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080 S082 · calculation操作前 Euler unit representative8 raw image normalized remainder := sub(208, 203) 操作後 Euler unit representative8 raw image normalized remainder = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081 S083 · implies操作前 Euler unit representative8 raw image:ORIGINAL signed integer=208;modulus=29;exact ratio=208/29;floor quotient=7 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=5 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S082 S084 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative9 := mul(26, 9) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative9 = 234 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083 S085 · calculation操作前 Euler unit representative9 raw image exact quotient := div(234, 29) 操作後 Euler unit representative9 raw image exact quotient = 234/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084 S086 · calculation操作前 Euler unit representative9 raw image floor quotient multiple := mul(8, 29) 操作後 Euler unit representative9 raw image floor quotient multiple = 232 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085 S087 · calculation操作前 Euler unit representative9 raw image normalized remainder := sub(234, 232) 操作後 Euler unit representative9 raw image normalized remainder = 2 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086 S088 · implies操作前 Euler unit representative9 raw image:ORIGINAL signed integer=234;modulus=29;exact ratio=234/29;floor quotient=8 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=2 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S087 S089 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative10 := mul(26, 10) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative10 = 260 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088 S090 · calculation操作前 Euler unit representative10 raw image exact quotient := div(260, 29) 操作後 Euler unit representative10 raw image exact quotient = 260/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089 S091 · calculation操作前 Euler unit representative10 raw image floor quotient multiple := mul(8, 29) 操作後 Euler unit representative10 raw image floor quotient multiple = 232 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090 S092 · calculation操作前 Euler unit representative10 raw image normalized remainder := sub(260, 232) 操作後 Euler unit representative10 raw image normalized remainder = 28 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091 S093 · implies操作前 Euler unit representative10 raw image:ORIGINAL signed integer=260;modulus=29;exact ratio=260/29;floor quotient=8 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=28 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S092 S094 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative11 := mul(26, 11) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative11 = 286 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093 S095 · calculation操作前 Euler unit representative11 raw image exact quotient := div(286, 29) 操作後 Euler unit representative11 raw image exact quotient = 286/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094 S096 · calculation操作前 Euler unit representative11 raw image floor quotient multiple := mul(9, 29) 操作後 Euler unit representative11 raw image floor quotient multiple = 261 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095 S097 · calculation操作前 Euler unit representative11 raw image normalized remainder := sub(286, 261) 操作後 Euler unit representative11 raw image normalized remainder = 25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096 S098 · implies操作前 Euler unit representative11 raw image:ORIGINAL signed integer=286;modulus=29;exact ratio=286/29;floor quotient=9 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=25 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S097 S099 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative12 := mul(26, 12) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative12 = 312 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098 S100 · calculation操作前 Euler unit representative12 raw image exact quotient := div(312, 29) 操作後 Euler unit representative12 raw image exact quotient = 312/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099 S101 · calculation操作前 Euler unit representative12 raw image floor quotient multiple := mul(10, 29) 操作後 Euler unit representative12 raw image floor quotient multiple = 290 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100 S102 · calculation操作前 Euler unit representative12 raw image normalized remainder := sub(312, 290) 操作後 Euler unit representative12 raw image normalized remainder = 22 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101 S103 · implies操作前 Euler unit representative12 raw image:ORIGINAL signed integer=312;modulus=29;exact ratio=312/29;floor quotient=10 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=22 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S102 S104 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative13 := mul(26, 13) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative13 = 338 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103 S105 · calculation操作前 Euler unit representative13 raw image exact quotient := div(338, 29) 操作後 Euler unit representative13 raw image exact quotient = 338/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104 S106 · calculation操作前 Euler unit representative13 raw image floor quotient multiple := mul(11, 29) 操作後 Euler unit representative13 raw image floor quotient multiple = 319 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105 S107 · calculation操作前 Euler unit representative13 raw image normalized remainder := sub(338, 319) 操作後 Euler unit representative13 raw image normalized remainder = 19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106 S108 · implies操作前 Euler unit representative13 raw image:ORIGINAL signed integer=338;modulus=29;exact ratio=338/29;floor quotient=11 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=19 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S107 S109 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative14 := mul(26, 14) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative14 = 364 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108 S110 · calculation操作前 Euler unit representative14 raw image exact quotient := div(364, 29) 操作後 Euler unit representative14 raw image exact quotient = 364/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109 S111 · calculation操作前 Euler unit representative14 raw image floor quotient multiple := mul(12, 29) 操作後 Euler unit representative14 raw image floor quotient multiple = 348 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110 S112 · calculation操作前 Euler unit representative14 raw image normalized remainder := sub(364, 348) 操作後 Euler unit representative14 raw image normalized remainder = 16 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111 S113 · implies操作前 Euler unit representative14 raw image:ORIGINAL signed integer=364;modulus=29;exact ratio=364/29;floor quotient=12 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=16 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S112 S114 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative15 := mul(26, 15) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative15 = 390 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113 S115 · calculation操作前 Euler unit representative15 raw image exact quotient := div(390, 29) 操作後 Euler unit representative15 raw image exact quotient = 390/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114 S116 · calculation操作前 Euler unit representative15 raw image floor quotient multiple := mul(13, 29) 操作後 Euler unit representative15 raw image floor quotient multiple = 377 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115 S117 · calculation操作前 Euler unit representative15 raw image normalized remainder := sub(390, 377) 操作後 Euler unit representative15 raw image normalized remainder = 13 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116 S118 · implies操作前 Euler unit representative15 raw image:ORIGINAL signed integer=390;modulus=29;exact ratio=390/29;floor quotient=13 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=13 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S117 S119 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative16 := mul(26, 16) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative16 = 416 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118 S120 · calculation操作前 Euler unit representative16 raw image exact quotient := div(416, 29) 操作後 Euler unit representative16 raw image exact quotient = 416/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119 S121 · calculation操作前 Euler unit representative16 raw image floor quotient multiple := mul(14, 29) 操作後 Euler unit representative16 raw image floor quotient multiple = 406 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120 S122 · calculation操作前 Euler unit representative16 raw image normalized remainder := sub(416, 406) 操作後 Euler unit representative16 raw image normalized remainder = 10 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121 S123 · implies操作前 Euler unit representative16 raw image:ORIGINAL signed integer=416;modulus=29;exact ratio=416/29;floor quotient=14 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=10 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S122 S124 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative17 := mul(26, 17) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative17 = 442 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S123 S125 · calculation操作前 Euler unit representative17 raw image exact quotient := div(442, 29) 操作後 Euler unit representative17 raw image exact quotient = 442/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124 S126 · calculation操作前 Euler unit representative17 raw image floor quotient multiple := mul(15, 29) 操作後 Euler unit representative17 raw image floor quotient multiple = 435 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S125 S127 · calculation操作前 Euler unit representative17 raw image normalized remainder := sub(442, 435) 操作後 Euler unit representative17 raw image normalized remainder = 7 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126 S128 · implies操作前 Euler unit representative17 raw image:ORIGINAL signed integer=442;modulus=29;exact ratio=442/29;floor quotient=15 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=7 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S127 S129 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative18 := mul(26, 18) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative18 = 468 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128 S130 · calculation操作前 Euler unit representative18 raw image exact quotient := div(468, 29) 操作後 Euler unit representative18 raw image exact quotient = 468/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S129 S131 · calculation操作前 Euler unit representative18 raw image floor quotient multiple := mul(16, 29) 操作後 Euler unit representative18 raw image floor quotient multiple = 464 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130 S132 · calculation操作前 Euler unit representative18 raw image normalized remainder := sub(468, 464) 操作後 Euler unit representative18 raw image normalized remainder = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131 S133 · implies操作前 Euler unit representative18 raw image:ORIGINAL signed integer=468;modulus=29;exact ratio=468/29;floor quotient=16 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=4 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S132 S134 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative19 := mul(26, 19) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative19 = 494 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133 S135 · calculation操作前 Euler unit representative19 raw image exact quotient := div(494, 29) 操作後 Euler unit representative19 raw image exact quotient = 494/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134 S136 · calculation操作前 Euler unit representative19 raw image floor quotient multiple := mul(17, 29) 操作後 Euler unit representative19 raw image floor quotient multiple = 493 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S135 S137 · calculation操作前 Euler unit representative19 raw image normalized remainder := sub(494, 493) 操作後 Euler unit representative19 raw image normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136 S138 · implies操作前 Euler unit representative19 raw image:ORIGINAL signed integer=494;modulus=29;exact ratio=494/29;floor quotient=17 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S137 S139 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative20 := mul(26, 20) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative20 = 520 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138 S140 · calculation操作前 Euler unit representative20 raw image exact quotient := div(520, 29) 操作後 Euler unit representative20 raw image exact quotient = 520/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139 S141 · calculation操作前 Euler unit representative20 raw image floor quotient multiple := mul(17, 29) 操作後 Euler unit representative20 raw image floor quotient multiple = 493 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140 S142 · calculation操作前 Euler unit representative20 raw image normalized remainder := sub(520, 493) 操作後 Euler unit representative20 raw image normalized remainder = 27 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141 S143 · implies操作前 Euler unit representative20 raw image:ORIGINAL signed integer=520;modulus=29;exact ratio=520/29;floor quotient=17 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=27 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S142 S144 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative21 := mul(26, 21) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative21 = 546 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S143 S145 · calculation操作前 Euler unit representative21 raw image exact quotient := div(546, 29) 操作後 Euler unit representative21 raw image exact quotient = 546/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144 S146 · calculation操作前 Euler unit representative21 raw image floor quotient multiple := mul(18, 29) 操作後 Euler unit representative21 raw image floor quotient multiple = 522 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S145 S147 · calculation操作前 Euler unit representative21 raw image normalized remainder := sub(546, 522) 操作後 Euler unit representative21 raw image normalized remainder = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146 S148 · implies操作前 Euler unit representative21 raw image:ORIGINAL signed integer=546;modulus=29;exact ratio=546/29;floor quotient=18 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=24 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S147 S149 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative22 := mul(26, 22) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative22 = 572 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S148 S150 · calculation操作前 Euler unit representative22 raw image exact quotient := div(572, 29) 操作後 Euler unit representative22 raw image exact quotient = 572/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149 S151 · calculation操作前 Euler unit representative22 raw image floor quotient multiple := mul(19, 29) 操作後 Euler unit representative22 raw image floor quotient multiple = 551 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150 S152 · calculation操作前 Euler unit representative22 raw image normalized remainder := sub(572, 551) 操作後 Euler unit representative22 raw image normalized remainder = 21 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S151 S153 · implies操作前 Euler unit representative22 raw image:ORIGINAL signed integer=572;modulus=29;exact ratio=572/29;floor quotient=19 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=21 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S152 S154 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative23 := mul(26, 23) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative23 = 598 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S153 S155 · calculation操作前 Euler unit representative23 raw image exact quotient := div(598, 29) 操作後 Euler unit representative23 raw image exact quotient = 598/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S154 S156 · calculation操作前 Euler unit representative23 raw image floor quotient multiple := mul(20, 29) 操作後 Euler unit representative23 raw image floor quotient multiple = 580 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S155 S157 · calculation操作前 Euler unit representative23 raw image normalized remainder := sub(598, 580) 操作後 Euler unit representative23 raw image normalized remainder = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S156 S158 · implies操作前 Euler unit representative23 raw image:ORIGINAL signed integer=598;modulus=29;exact ratio=598/29;floor quotient=20 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=18 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S157 S159 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative24 := mul(26, 24) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative24 = 624 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S158 S160 · calculation操作前 Euler unit representative24 raw image exact quotient := div(624, 29) 操作後 Euler unit representative24 raw image exact quotient = 624/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S159 S161 · calculation操作前 Euler unit representative24 raw image floor quotient multiple := mul(21, 29) 操作後 Euler unit representative24 raw image floor quotient multiple = 609 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S160 S162 · calculation操作前 Euler unit representative24 raw image normalized remainder := sub(624, 609) 操作後 Euler unit representative24 raw image normalized remainder = 15 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S161 S163 · implies操作前 Euler unit representative24 raw image:ORIGINAL signed integer=624;modulus=29;exact ratio=624/29;floor quotient=21 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=15 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S162 S164 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative25 := mul(26, 25) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative25 = 650 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S163 S165 · calculation操作前 Euler unit representative25 raw image exact quotient := div(650, 29) 操作後 Euler unit representative25 raw image exact quotient = 650/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S164 S166 · calculation操作前 Euler unit representative25 raw image floor quotient multiple := mul(22, 29) 操作後 Euler unit representative25 raw image floor quotient multiple = 638 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S165 S167 · calculation操作前 Euler unit representative25 raw image normalized remainder := sub(650, 638) 操作後 Euler unit representative25 raw image normalized remainder = 12 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S166 S168 · implies操作前 Euler unit representative25 raw image:ORIGINAL signed integer=650;modulus=29;exact ratio=650/29;floor quotient=22 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=12 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S167 S169 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative26 := mul(26, 26) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative26 = 676 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S168 S170 · calculation操作前 Euler unit representative26 raw image exact quotient := div(676, 29) 操作後 Euler unit representative26 raw image exact quotient = 676/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S169 S171 · calculation操作前 Euler unit representative26 raw image floor quotient multiple := mul(23, 29) 操作後 Euler unit representative26 raw image floor quotient multiple = 667 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S170 S172 · calculation操作前 Euler unit representative26 raw image normalized remainder := sub(676, 667) 操作後 Euler unit representative26 raw image normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S171 S173 · implies操作前 Euler unit representative26 raw image:ORIGINAL signed integer=676;modulus=29;exact ratio=676/29;floor quotient=23 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=9 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S172 S174 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative27 := mul(26, 27) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative27 = 702 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S173 S175 · calculation操作前 Euler unit representative27 raw image exact quotient := div(702, 29) 操作後 Euler unit representative27 raw image exact quotient = 702/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S174 S176 · calculation操作前 Euler unit representative27 raw image floor quotient multiple := mul(24, 29) 操作後 Euler unit representative27 raw image floor quotient multiple = 696 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S175 S177 · calculation操作前 Euler unit representative27 raw image normalized remainder := sub(702, 696) 操作後 Euler unit representative27 raw image normalized remainder = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S176 S178 · implies操作前 Euler unit representative27 raw image:ORIGINAL signed integer=702;modulus=29;exact ratio=702/29;floor quotient=24 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=6 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S177 S179 · calculation操作前 Euler ORIGINAL a times unit representative28 := mul(26, 28) 操作後 Euler ORIGINAL a times unit representative28 = 728 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S178 S180 · calculation操作前 Euler unit representative28 raw image exact quotient := div(728, 29) 操作後 Euler unit representative28 raw image exact quotient = 728/29 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S179 S181 · calculation操作前 Euler unit representative28 raw image floor quotient multiple := mul(25, 29) 操作後 Euler unit representative28 raw image floor quotient multiple = 725 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S180 S182 · calculation操作前 Euler unit representative28 raw image normalized remainder := sub(728, 725) 操作後 Euler unit representative28 raw image normalized remainder = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S181 S183 · implies操作前 Euler unit representative28 raw image:ORIGINAL signed integer=728;modulus=29;exact ratio=728/29;floor quotient=25 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=3 in[0,29);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S182 S184 · implies操作前 COMPLETE original increasing U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28];actual images in ORIGINAL unit order=[26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 28, 25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3] 操作後 SOURCE output sorts the mapped list numerically=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28];full-list equality=是;not a claim each point is fixed 條件：無 來源第二欄是排序後的完整像清單，非原unit順序的逐點像；相等證permutation，不代表乘a是identity。原始點像在本步另列，不靜默混同。 步驟識別與依賴規則：euler_sorted_mapped_units_not_original_image_order_or_identity · 依賴：G001, S183 ## 逐步反向核對 - S184 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S183 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S182 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative28 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S181 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative28 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S180 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative28 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S179 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative28，不以小數近似替代。 - S178 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S177 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative27 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S176 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative27 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S175 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative27 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S174 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative27，不以小數近似替代。 - S173 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S172 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative26 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S171 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative26 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S170 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative26 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S169 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative26，不以小數近似替代。 - S168 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S167 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative25 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S166 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative25 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S165 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative25 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S164 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative25，不以小數近似替代。 - S163 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S162 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative24 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S161 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative24 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S160 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative24 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S159 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative24，不以小數近似替代。 - S158 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S157 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative23 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S156 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative23 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S155 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative23 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S154 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative23，不以小數近似替代。 - S153 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S152 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative22 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative22 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative22 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative22，不以小數近似替代。 - S148 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative21 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S146 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative21 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative21 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S144 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative21，不以小數近似替代。 - S143 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative20 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative20 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative20 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative20，不以小數近似替代。 - S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative19 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S136 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative19 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative19 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative19，不以小數近似替代。 - S133 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative18 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative18 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S130 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative18 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative18，不以小數近似替代。 - S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative17 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S126 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative17 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative17 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S124 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative17，不以小數近似替代。 - S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative16 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative16 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative16 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative16，不以小數近似替代。 - S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative15 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative15 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative15 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative15，不以小數近似替代。 - S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative14 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative14 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative14 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative14，不以小數近似替代。 - S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative13 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative13 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative13 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative13，不以小數近似替代。 - S103 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative12 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative12 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative12 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative12，不以小數近似替代。 - S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative11 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative11 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative11 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative11，不以小數近似替代。 - S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative10 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative10 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative10 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative10，不以小數近似替代。 - S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative9 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative9 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative9 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative9，不以小數近似替代。 - S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative8 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative8 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative8 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative8，不以小數近似替代。 - S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative7 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative7 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative7 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative7，不以小數近似替代。 - S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative6 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative6 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative6 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative6，不以小數近似替代。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative5 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative5，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative4 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative4 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative4 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative4，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative3 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative3 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative3 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative3，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative2 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative2 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative2 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative2，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image normalized remainder，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler unit representative1 raw image exact quotient，不以小數近似替代。 - S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL a times unit representative1，不以小數近似替代。 - S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check exact quotient，不以小數近似替代。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL base-unit inverse product，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler complete reduced residue count phi，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28], 是, multiplication_by_a_permutes_reduced_residues) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8597de7a162277877a8de1a15604f3ece66a928137499b003ed42d9a0165072b - candidate record SHA-256: b59a19b12db90f4bb44bbbf5553d86135b1ab362444b95d1336b102877d8be3e - semantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034 - question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 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