# 第 20040 題：Euler定理 [返回所在分頁 101](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/101/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-foundations/#q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0065) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0039-20040 · q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0065 ## 原題與已知條件 n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-negative-base-normalization；資料={"n":19,"a":-16}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — n大於等於2、exact gcd、phi與安全modular exponentiation。操作=eulerthm-negative-base-normalization；資料={"n":19,"a":-16}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-euler-theorem-number-theory](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-euler-theorem-number-theory/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=eulerthm-negative-base-normalization;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[original_base, normalized_base, totient, residue, congruent_to_one, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。欄位標籤不是額外數學證據，No保持原題的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient := div(-16, 19) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient = -16/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple := mul(-1, 19) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple = -19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder := sub(-16, -19) 操作後 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder = 3 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 Euler ORIGINAL signed base normalization:ORIGINAL signed integer=-16;modulus=19;exact ratio=-16/19;floor quotient=-1 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=3 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 Euler ORIGINAL base applicability gcd:ORIGINAL gcd inputs=[-16, 19];nonnegative initial pair=[16, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[16, 19, 0, 16], [19, 16, 1, 3], [16, 3, 5, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 Euler residue representative0:ORIGINAL gcd inputs=[0, 19];nonnegative initial pair=[0, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[0, 19, 0, 0]];terminal gcd=19 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 Euler residue representative1:ORIGINAL gcd inputs=[1, 19];nonnegative initial pair=[1, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[1, 19, 0, 1], [19, 1, 19, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 Euler residue representative2:ORIGINAL gcd inputs=[2, 19];nonnegative initial pair=[2, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[2, 19, 0, 2], [19, 2, 9, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 Euler residue representative3:ORIGINAL gcd inputs=[3, 19];nonnegative initial pair=[3, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[3, 19, 0, 3], [19, 3, 6, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 Euler residue representative4:ORIGINAL gcd inputs=[4, 19];nonnegative initial pair=[4, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[4, 19, 0, 4], [19, 4, 4, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 Euler residue representative5:ORIGINAL gcd inputs=[5, 19];nonnegative initial pair=[5, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[5, 19, 0, 5], [19, 5, 3, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 Euler residue representative6:ORIGINAL gcd inputs=[6, 19];nonnegative initial pair=[6, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[6, 19, 0, 6], [19, 6, 3, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 Euler residue representative7:ORIGINAL gcd inputs=[7, 19];nonnegative initial pair=[7, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[7, 19, 0, 7], [19, 7, 2, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 Euler residue representative8:ORIGINAL gcd inputs=[8, 19];nonnegative initial pair=[8, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[8, 19, 0, 8], [19, 8, 2, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 Euler residue representative9:ORIGINAL gcd inputs=[9, 19];nonnegative initial pair=[9, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[9, 19, 0, 9], [19, 9, 2, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 Euler residue representative10:ORIGINAL gcd inputs=[10, 19];nonnegative initial pair=[10, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[10, 19, 0, 10], [19, 10, 1, 9], [10, 9, 1, 1], [9, 1, 9, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 Euler residue representative11:ORIGINAL gcd inputs=[11, 19];nonnegative initial pair=[11, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[11, 19, 0, 11], [19, 11, 1, 8], [11, 8, 1, 3], [8, 3, 2, 2], [3, 2, 1, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 Euler residue representative12:ORIGINAL gcd inputs=[12, 19];nonnegative initial pair=[12, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[12, 19, 0, 12], [19, 12, 1, 7], [12, 7, 1, 5], [7, 5, 1, 2], [5, 2, 2, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 Euler residue representative13:ORIGINAL gcd inputs=[13, 19];nonnegative initial pair=[13, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[13, 19, 0, 13], [19, 13, 1, 6], [13, 6, 2, 1], [6, 1, 6, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 Euler residue representative14:ORIGINAL gcd inputs=[14, 19];nonnegative initial pair=[14, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[14, 19, 0, 14], [19, 14, 1, 5], [14, 5, 2, 4], [5, 4, 1, 1], [4, 1, 4, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S020 S022 · implies操作前 Euler residue representative15:ORIGINAL gcd inputs=[15, 19];nonnegative initial pair=[15, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[15, 19, 0, 15], [19, 15, 1, 4], [15, 4, 3, 3], [4, 3, 1, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 Euler residue representative16:ORIGINAL gcd inputs=[16, 19];nonnegative initial pair=[16, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[16, 19, 0, 16], [19, 16, 1, 3], [16, 3, 5, 1], [3, 1, 3, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S022 S024 · implies操作前 Euler residue representative17:ORIGINAL gcd inputs=[17, 19];nonnegative initial pair=[17, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[17, 19, 0, 17], [19, 17, 1, 2], [17, 2, 8, 1], [2, 1, 2, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S023 S025 · implies操作前 Euler residue representative18:ORIGINAL gcd inputs=[18, 19];nonnegative initial pair=[18, 19] 操作後 ALL exact Euclidean rows[left,right,q,r]=[[18, 19, 0, 18], [19, 18, 1, 1], [18, 1, 18, 0]];terminal gcd=1 條件：無 每列left=q·right+r且0≤r<正right，餘數替換保共同因數集並嚴格下降，終端給gcd；包含gcd(0,n)=n，不除以0。 步驟識別與依賴規則：euler_gcd_full_remainder_chain_unit_test · 依賴：G001, S024 S026 · calculation操作前 Euler complete reduced residue count phi := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) 操作後 Euler complete reduced residue count phi = 18 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025 S027 · implies操作前 COMPLETE original residue carrier0..18;ALL [representative,gcd,unit] rows=[[0, 19, 否], [1, 1, 是], [2, 1, 是], [3, 1, 是], [4, 1, 是], [5, 1, 是], [6, 1, 是], [7, 1, 是], [8, 1, 是], [9, 1, 是], [10, 1, 是], [11, 1, 是], [12, 1, 是], [13, 1, 是], [14, 1, 是], [15, 1, 是], [16, 1, 是], [17, 1, 是], [18, 1, 是]] 操作後 increasing COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18];phi(n)=18;source count over1..n agrees because0 and n are BOTH nonunits for n>=2 條件：無 逐所有代表判gcd1而得完整單位元集合，1必在其中。來源φ用1..n而unit list用0..n−1；因n≥2，換出的0與n都非單位元，計數一致，不擅自把n當prime。 步驟識別與依賴規則：euler_full_units_totient_count_convention_not_prime_only · 依賴：G001, S026 S028 · implies操作前 ORIGINAL normalized base=3;COMPLETE totient exponent=18;modulus=19 操作後 initialize accumulator1,current_base=base,remaining=phi;invariant accumulator*current_base^remaining congruent to the original totient power 條件：無 以有限次平方乘法保原φ次方同餘，不建立龐大普通整數冪。φ是完整單位元數，不把它換成n−1除非另外證n為prime。 步驟識別與依賴規則：euler_totient_power_initial_exact_invariant · 依賴：G001, S027 S029 · calculation操作前 Euler power bit0 base square := mul(3, 3) 操作後 Euler power bit0 base square = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028 S030 · calculation操作前 Euler power bit0 squared-base reduction exact quotient := div(9, 19) 操作後 Euler power bit0 squared-base reduction exact quotient = 9/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029 S031 · calculation操作前 Euler power bit0 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(0, 19) 操作後 Euler power bit0 squared-base reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030 S032 · calculation操作前 Euler power bit0 squared-base reduction normalized remainder := sub(9, 0) 操作後 Euler power bit0 squared-base reduction normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031 S033 · implies操作前 Euler power bit0 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=9;modulus=19;exact ratio=9/19;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=9 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S032 S034 · implies操作前 step=0;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 3, 18];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 9, 9];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S033 S035 · calculation操作前 Euler power bit1 accumulator product := mul(1, 9) 操作後 Euler power bit1 accumulator product = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034 S036 · calculation操作前 Euler power bit1 accumulator reduction exact quotient := div(9, 19) 操作後 Euler power bit1 accumulator reduction exact quotient = 9/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035 S037 · calculation操作前 Euler power bit1 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(0, 19) 操作後 Euler power bit1 accumulator reduction floor quotient multiple = 0 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036 S038 · calculation操作前 Euler power bit1 accumulator reduction normalized remainder := sub(9, 0) 操作後 Euler power bit1 accumulator reduction normalized remainder = 9 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037 S039 · implies操作前 Euler power bit1 accumulator reduction:ORIGINAL signed integer=9;modulus=19;exact ratio=9/19;floor quotient=0 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=9 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S038 S040 · calculation操作前 Euler power bit1 base square := mul(9, 9) 操作後 Euler power bit1 base square = 81 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039 S041 · calculation操作前 Euler power bit1 squared-base reduction exact quotient := div(81, 19) 操作後 Euler power bit1 squared-base reduction exact quotient = 81/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040 S042 · calculation操作前 Euler power bit1 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(4, 19) 操作後 Euler power bit1 squared-base reduction floor quotient multiple = 76 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041 S043 · calculation操作前 Euler power bit1 squared-base reduction normalized remainder := sub(81, 76) 操作後 Euler power bit1 squared-base reduction normalized remainder = 5 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042 S044 · implies操作前 Euler power bit1 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=81;modulus=19;exact ratio=81/19;floor quotient=4 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=5 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S043 S045 · implies操作前 step=1;previous[accumulator,base,exponent]=[1, 9, 9];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[9, 5, 4];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S044 S046 · calculation操作前 Euler power bit2 base square := mul(5, 5) 操作後 Euler power bit2 base square = 25 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045 S047 · calculation操作前 Euler power bit2 squared-base reduction exact quotient := div(25, 19) 操作後 Euler power bit2 squared-base reduction exact quotient = 25/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046 S048 · calculation操作前 Euler power bit2 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(1, 19) 操作後 Euler power bit2 squared-base reduction floor quotient multiple = 19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047 S049 · calculation操作前 Euler power bit2 squared-base reduction normalized remainder := sub(25, 19) 操作後 Euler power bit2 squared-base reduction normalized remainder = 6 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048 S050 · implies操作前 Euler power bit2 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=25;modulus=19;exact ratio=25/19;floor quotient=1 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=6 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S049 S051 · implies操作前 step=2;previous[accumulator,base,exponent]=[9, 5, 4];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[9, 6, 2];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S050 S052 · calculation操作前 Euler power bit3 base square := mul(6, 6) 操作後 Euler power bit3 base square = 36 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051 S053 · calculation操作前 Euler power bit3 squared-base reduction exact quotient := div(36, 19) 操作後 Euler power bit3 squared-base reduction exact quotient = 36/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052 S054 · calculation操作前 Euler power bit3 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(1, 19) 操作後 Euler power bit3 squared-base reduction floor quotient multiple = 19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053 S055 · calculation操作前 Euler power bit3 squared-base reduction normalized remainder := sub(36, 19) 操作後 Euler power bit3 squared-base reduction normalized remainder = 17 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054 S056 · implies操作前 Euler power bit3 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=36;modulus=19;exact ratio=36/19;floor quotient=1 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=17 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S055 S057 · implies操作前 step=3;previous[accumulator,base,exponent]=[9, 6, 2];low bit=0 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[9, 17, 1];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S056 S058 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator product := mul(9, 17) 操作後 Euler power bit4 accumulator product = 153 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057 S059 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator reduction exact quotient := div(153, 19) 操作後 Euler power bit4 accumulator reduction exact quotient = 153/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058 S060 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator reduction floor quotient multiple := mul(8, 19) 操作後 Euler power bit4 accumulator reduction floor quotient multiple = 152 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059 S061 · calculation操作前 Euler power bit4 accumulator reduction normalized remainder := sub(153, 152) 操作後 Euler power bit4 accumulator reduction normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060 S062 · implies操作前 Euler power bit4 accumulator reduction:ORIGINAL signed integer=153;modulus=19;exact ratio=153/19;floor quotient=8 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S061 S063 · calculation操作前 Euler power bit4 base square := mul(17, 17) 操作後 Euler power bit4 base square = 289 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062 S064 · calculation操作前 Euler power bit4 squared-base reduction exact quotient := div(289, 19) 操作後 Euler power bit4 squared-base reduction exact quotient = 289/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063 S065 · calculation操作前 Euler power bit4 squared-base reduction floor quotient multiple := mul(15, 19) 操作後 Euler power bit4 squared-base reduction floor quotient multiple = 285 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064 S066 · calculation操作前 Euler power bit4 squared-base reduction normalized remainder := sub(289, 285) 操作後 Euler power bit4 squared-base reduction normalized remainder = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065 S067 · implies操作前 Euler power bit4 squared-base reduction:ORIGINAL signed integer=289;modulus=19;exact ratio=289/19;floor quotient=15 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=4 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S066 S068 · implies操作前 step=4;previous[accumulator,base,exponent]=[9, 17, 1];low bit=1 操作後 next[accumulator,base,exponent]=[1, 4, 0];split exponent=2*q+bit preserves original-power invariant 條件：無 奇次方取一個base進accumulator，偶部分改用平方base，取模保同餘且exponent減半終止。這段精確算術對nonunit也能做；能計算不等於Euler定理前提成立。 步驟識別與依賴規則：euler_every_binary_power_step_unit_not_required_for_arithmetic · 依賴：G001, S067 S069 · implies操作前 remaining exponent0;final normalized accumulator=1 操作後 EXACT original normalized base^18 modulo19=1 條件：無 不變式終止後給原φ次方餘數；這是指定modulus的算術結果，不是primality certificate。 步驟識別與依賴規則：euler_totient_power_terminal_congruence_not_primality · 依賴：G001, S068 S070 · calculation操作前 Euler ACTUAL base-unit inverse product := mul(3, 13) 操作後 Euler ACTUAL base-unit inverse product = 39 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069 S071 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check exact quotient := div(39, 19) 操作後 Euler ACTUAL inverse check exact quotient = 39/19 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070 S072 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple := mul(2, 19) 操作後 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple = 38 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071 S073 · calculation操作前 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder := sub(39, 38) 操作後 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder = 1 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072 S074 · implies操作前 Euler ACTUAL inverse check:ORIGINAL signed integer=39;modulus=19;exact ratio=39/19;floor quotient=2 操作後 value=q*n+remainder;normalized residue=1 in[0,19);same congruence class,NOT absolute-value replacement 條件：無 對正模數取向下整數商，負base也保原同餘類；不能改成abs(a)。相同餘數是mod n同餘，不是原整數相等。 步驟識別與依賴規則：euler_exact_signed_remainder_not_abs_or_integer_equality · 依賴：G001, S073 S075 · implies操作前 ACTUAL modulus n=19;gcd(original a=-16,n)=1;normalized base=3;ACTUAL inverse=13;COMPLETE U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] 操作後 for ANY r in U(n),a*r remains a unit;actual inverse makes multiplication injective;finite self-injection on U(n) is surjective,so a*U(n)=U(n) 條件：無 單位元乘積的inverse可由反序inverse相乘給出，故乘a留U(n)；用a的真inverse消去得單射，有限同載體推出滿射。n可以是合數；不能把全部非零residue當單位元。 步驟識別與依賴規則：euler_all_unit_residue_permutation_composite_allowed · 依賴：G001, S074 S076 · implies操作前 SAME complete U(n)=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] of size phi=18;multiplication by original a=-16 permutes it 操作後 multiply ALL unit images:a^(18)*product(U) congruent product(U);EVERY U factor is a UNIT,so product(U) has reverse-product inverse;cancel ONLY this unit to get a^phi congruent1 modulo19 條件：無 有限乘積是同一unit集合的排列，故相等；prod(U)是unit才可消去。這不是對合數模數的所有非零元素取消，也不是對0取消；沒有prime前提，Euler congruence通過不給prime converse。 步驟識別與依賴規則：euler_complete_unit_product_cancellation_not_nonzero_factorial · 依賴：G001, S075 ## 逐步反向核對 - S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check normalized remainder，不以小數近似替代。 - S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL inverse check exact quotient，不以小數近似替代。 - S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ACTUAL base-unit inverse product，不以小數近似替代。 - S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 base square，不以小數近似替代。 - S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit4 accumulator product，不以小數近似替代。 - S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit3 base square，不以小數近似替代。 - S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit2 base square，不以小數近似替代。 - S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 base square，不以小數近似替代。 - S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 accumulator reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 accumulator reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 accumulator reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit1 accumulator product，不以小數近似替代。 - S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 squared-base reduction normalized remainder，不以小數近似替代。 - S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 squared-base reduction floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 squared-base reduction exact quotient，不以小數近似替代。 - S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler power bit0 base square，不以小數近似替代。 - S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler complete reduced residue count phi，不以小數近似替代。 - S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization normalized remainder，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization floor quotient multiple，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed base normalization exact quotient，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (-16, 3, 18, 1, 是, negative_base_normalized_before_exact_modular_power) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 3d7eaaf46a202d9fcd2c6ce7f9d7e4a3e61de55134b4d650a98e119e110812d7 - candidate record SHA-256: 050636b81d248ef935cb92e1f70d11a970b349fe164c006cf9681b1087c3423b - semantic review receipt SHA-256: 6e11e35fafe32f16900ce9b522d01acb7b2ee6b463ab179392076cfbe1af8034 - question-first witness SHA-256: cc0fa361fc25151729e70264340d2eae94f179f6f2a2edfe80ba5704fbbd0682 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261107-r06-euler-theorem-number-theory-0065.json)