# 第 21076 題：單調有界數列收斂定理 [返回所在分頁 106](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/106/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-0001) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0041-21076 · q-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-0001 ## 原題與已知條件 實數列的symbolic全稱單調與相應有界證書。操作=monoseq-increasing-limit-certificate；資料={"limit":[1,2],"coefficient":1,"shift":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 實數列的symbolic全稱單調與相應有界證書。操作=monoseq-increasing-limit-certificate；資料={"limit":[1,2],"coefficient":1,"shift":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-monotone-sequence-convergence-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-monotone-sequence-convergence-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=monoseq-increasing-limit-certificate;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[direction, limit, coefficient, shift, first_three_terms, symbolic_certificate, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL direction=increasing,L=1/2,c=1>0,shift=2>=1;WHOLE a_n=L+(-1)c/(n+shift) for ALL n>=0 操作後 for EVERY n>=0,a_(n+1)-a_n=(1)*(1)/((n+2)*(n+1+2));positive denominator;all a_n strictly below L=1/2 條件：無 逐次差由同分母相減得到；c正、分母正固定其符號，故遞增時L是上界，遞減時L是下界。這是全部n的公式，允許L為負且不把頭三項當證明。 步驟識別與依賴規則：monoseq_whole_symbolic_monotonicity_and_matching_bound · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 WHOLE increasing law with ORIGINAL L=1/2,c=1,shift=2 操作後 for ANY epsilon>0 choose natural N with N+2>1/epsilon;ALL n>=N have |a_n-L|0 條件：無 由Archimedean性選出N後控制所有後項；任何比L更小的上界（或更大的下界）會被足夠近L的項打破，故L是sup／inf。一般單調定理亦由sup−epsilon不是上界取得一項，再以單調性夾住尾部；遞減情況對偶。 步驟識別與依賴規則：monoseq_sup_inf_limit_proof_and_nonattainment · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=0 denominator := sum(0, 2) 操作後 monoseq illustrative source n=0 denominator = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=0 unsigned tail := div(1, 2) 操作後 monoseq illustrative source n=0 unsigned tail = 1/2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=0 signed value := sub(1/2, 1/2) 操作後 monoseq illustrative source n=0 signed value = 0 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=1 denominator := sum(1, 2) 操作後 monoseq illustrative source n=1 denominator = 3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=1 unsigned tail := div(1, 3) 操作後 monoseq illustrative source n=1 unsigned tail = 1/3 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=1 signed value := sub(1/2, 1/3) 操作後 monoseq illustrative source n=1 signed value = 1/6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=2 denominator := sum(2, 2) 操作後 monoseq illustrative source n=2 denominator = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=2 unsigned tail := div(1, 4) 操作後 monoseq illustrative source n=2 unsigned tail = 1/4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 monoseq illustrative source n=2 signed value := sub(1/2, 1/4) 操作後 monoseq illustrative source n=2 signed value = 1/4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 ## 逐步反向核對 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=2 signed value，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=2 unsigned tail，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=2 denominator，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=1 signed value，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=1 unsigned tail，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=1 denominator，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=0 signed value，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=0 unsigned tail，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 monoseq illustrative source n=0 denominator，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (increasing, 1/2, 1, 2, [0, 1/6, 1/4], 是, nondecreasing_bounded_above_supremum_limit) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 0b8076ab03c30906b1f096a1a0a0acfde39b47f21767e3189c0c961f52a02b60 - candidate record SHA-256: f96dcb73722e2ff0a69256bfc838e91c161a45e3d384c0453e17effa544b5712 - semantic review receipt SHA-256: 8f134403487694af4c70d2e00ec84bab542043ef4b3c54517c04f3c409c0262a - question-first witness SHA-256: ad772845088ed8e99f87f90d4264b05ea97be35775305a02011af5ee35f0f4ce - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-0001.json)