# 第 21048 題：單調有界數列收斂定理 [返回所在分頁 106](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/106/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-0073) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0041-21048 · q-20261014-advance-20261108-r02-monotone-sequence-convergence-theorem-0073 ## 原題與已知條件 實數列的symbolic全稱單調與相應有界證書。操作=monoseq-epsilon-witness；資料={"direction":"increasing","limit":[23,24],"coefficient":23,"shift":2,"epsilon":[1,32]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 實數列的symbolic全稱單調與相應有界證書。操作=monoseq-epsilon-witness；資料={"direction":"increasing","limit":[23,24],"coefficient":23,"shift":2,"epsilon":[1,32]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-monotone-sequence-convergence-theorem](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-monotone-sequence-convergence-theorem/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=monoseq-epsilon-witness;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[direction, limit, epsilon, N, value_at_N, strict_tail_certificate, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL direction=increasing,L=23/24,c=23>0,shift=2>=1;WHOLE a_n=L+(-1)c/(n+shift) for ALL n>=0 操作後 for EVERY n>=0,a_(n+1)-a_n=(1)*(23)/((n+2)*(n+1+2));positive denominator;all a_n strictly below L=23/24 條件：無 逐次差由同分母相減得到；c正、分母正固定其符號，故遞增時L是上界，遞減時L是下界。這是全部n的公式，允許L為負且不把頭三項當證明。 步驟識別與依賴規則：monoseq_whole_symbolic_monotonicity_and_matching_bound · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 WHOLE increasing law with ORIGINAL L=23/24,c=23,shift=2 操作後 for ANY epsilon>0 choose natural N with N+2>23/epsilon;ALL n>=N have |a_n-L|0 條件：無 由Archimedean性選出N後控制所有後項；任何比L更小的上界（或更大的下界）會被足夠近L的項打破，故L是sup／inf。一般單調定理亦由sup−epsilon不是上界取得一項，再以單調性夾住尾部；遞減情況對偶。 步驟識別與依賴規則：monoseq_sup_inf_limit_proof_and_nonattainment · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 monoseq c over epsilon := div(23, 1/32) 操作後 monoseq c over epsilon = 736 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 monoseq index multiple := mul(1, 735) 操作後 monoseq index multiple = 735 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 monoseq actual source index := sum(0, 735) 操作後 monoseq actual source index = 735 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 monoseq witness denominator := sum(735, 2) 操作後 monoseq witness denominator = 737 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 monoseq witness distance := div(23, 737) 操作後 monoseq witness distance = 23/737 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 monoseq predecessor distance := div(23, 736) 操作後 monoseq predecessor distance = 1/32 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 monoseq:c=23,shift=2,epsilon=1/32;index(q)=1q+0;c/epsilon=736;floor=736 操作後 least nonnegative witness=735;actual source index=735;distance=23/7370才驗前一項仍≥epsilon；相等尚未通過。 步驟識別與依賴規則：tail_strict_least_index_not_equality_or_negative_predecessor · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 monoseq:positive c=23,epsilon=1/32,shift=2,stride=1,offset=0;least witness=735 操作後 for EVERY integer q>=735,denominator=1q+0+2>=witness denominator>0,so 0