# 第 21265 題：子空間拓撲 [返回所在分頁 107](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/107/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r03-subspace-topology-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r03-subspace-topology-0065) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0041-21265 · q-20261014-advance-20261108-r03-subspace-topology-0065 ## 原題與已知條件 完整有限母拓撲、明示Y subset X與相對全集Y。操作=subtop-relative-closed-audit；資料={"n":5,"parent_topology":[[],[0],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4],[0,2,3],[0,3]],"subset":[1,3,4],"candidate":[1,4]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限母拓撲、明示Y subset X與相對全集Y。操作=subtop-relative-closed-audit；資料={"n":5,"parent_topology":[[],[0],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4],[0,2,3],[0,3]],"subset":[1,3,4],"candidate":[1,4]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-subspace-topology](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-subspace-topology/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=subtop-relative-closed-audit;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[candidate, relative_complement, relative_closed, boundary] 條件：無 原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=0,U=[];complete topology=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [], []], [1, [0], []], [2, [0, 1, 2, 3], []], [3, [0, 1, 2, 3, 4], []], [4, [0, 2, 3], []], [5, [0, 3], []]];each belongs to the SAME parent family 條件：無 先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。 步驟識別與依賴規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=1,U=[0];complete topology=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0], []], [1, [0], [0]], [2, [0, 1, 2, 3], [0]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0]], [4, [0, 2, 3], [0]], [5, [0, 3], [0]]];each belongs to the SAME parent family 條件：無 先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。 步驟識別與依賴規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=2,U=[0, 1, 2, 3];complete topology=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 2, 3], []], [1, [0, 1, 2, 3], [0]], [2, [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3]], [4, [0, 1, 2, 3], [0, 2, 3]], [5, [0, 1, 2, 3], [0, 3]]];each belongs to the SAME parent family 條件：無 先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。 步驟識別與依賴規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=3,U=[0, 1, 2, 3, 4];complete topology=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 2, 3, 4], []], [1, [0, 1, 2, 3, 4], [0]], [2, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4]], [4, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3]], [5, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 3]]];each belongs to the SAME parent family 條件：無 先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。 步驟識別與依賴規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=4,U=[0, 2, 3];complete topology=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 2, 3], []], [1, [0, 2, 3], [0]], [2, [0, 1, 2, 3], [0, 2, 3]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3]], [4, [0, 2, 3], [0, 2, 3]], [5, [0, 2, 3], [0, 3]]];each belongs to the SAME parent family 條件：無 先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。 步驟識別與依賴規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ORIGINAL parent Fin(5);parent open index=5,U=[0, 3];complete topology=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 3], []], [1, [0, 3], [0]], [2, [0, 1, 2, 3], [0, 3]], [3, [0, 1, 2, 3, 4], [0, 3]], [4, [0, 2, 3], [0, 3]], [5, [0, 3], [0, 3]]];each belongs to the SAME parent family 條件：無 先驗母拓撲含空集與全集，再核全部有序open pair的union／intersection閉合。有限family的任意union可去重成有限union，故二元閉合足夠；不能把不合格母資料當True。 步驟識別與依賴規則：subtop_qualified_parent_all_pairs_union_intersection · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL parent open index=0,U=[];ORIGINAL subset Y=[1, 3, 4] 操作後 actual U intersect Y=[];retain parent index even if another open has the same intersection 條件：無 對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。 步驟識別與依賴規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL parent open index=1,U=[0];ORIGINAL subset Y=[1, 3, 4] 操作後 actual U intersect Y=[];retain parent index even if another open has the same intersection 條件：無 對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。 步驟識別與依賴規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 ORIGINAL parent open index=2,U=[0, 1, 2, 3];ORIGINAL subset Y=[1, 3, 4] 操作後 actual U intersect Y=[1, 3];retain parent index even if another open has the same intersection 條件：無 對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。 步驟識別與依賴規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ORIGINAL parent open index=3,U=[0, 1, 2, 3, 4];ORIGINAL subset Y=[1, 3, 4] 操作後 actual U intersect Y=[1, 3, 4];retain parent index even if another open has the same intersection 條件：無 對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。 步驟識別與依賴規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL parent open index=4,U=[0, 2, 3];ORIGINAL subset Y=[1, 3, 4] 操作後 actual U intersect Y=[3];retain parent index even if another open has the same intersection 條件：無 對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。 步驟識別與依賴規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL parent open index=5,U=[0, 3];ORIGINAL subset Y=[1, 3, 4] 操作後 actual U intersect Y=[3];retain parent index even if another open has the same intersection 條件：無 對每個母open逐點交Y；相同交集只在誘導family去重，原母witness不能丟。U可含Y外的點，不強迫U subset Y。 步驟識別與依賴規則：subtop_every_parent_open_intersection_with_original_Y · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 subtop distinct relative open count := sum(1, 1, 1, 1) 操作後 subtop distinct relative open count = 4 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ORIGINAL Y=[1, 3, 4];ALL parent intersections=[[], [], [1, 3], [1, 3, 4], [3], [3]] 操作後 normalized relative topology=[[], [1, 3], [1, 3, 4], [3]];distinct count=4;empty and Y included;unions and finite intersections commute with intersect Y 條件：無 任意union與有限intersection都可把交Y提出，再由母拓撲封閉得到相對open。Y空時所有交集都是空集，誘導拓撲是只含空集的一個family，不是零個open。 步驟識別與依賴規則：subtop_induced_axioms_and_empty_Y · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 ORIGINAL candidate=[1, 4] subset Y=[1, 3, 4];ALL original parent opens=[[], [0], [0, 1, 2, 3], [0, 1, 2, 3, 4], [0, 2, 3], [0, 3]] 操作後 ALL ambient U with U intersect Y=candidate=[];relative_open=否;ambient_open=否;Y minus candidate=[3];relative_closed=是 條件：無 相對open以母open交Y見證，不等於candidate自己在母拓撲。相對closed要查Y內補集open，並由De Morgan律看出相對closed的母closed交Y形式；不改用母空間內補集。 步驟識別與依賴規則：subtop_relative_open_witnesses_and_relative_complement · 依賴：G001, S015 ## 逐步反向核對 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 subtop distinct relative open count，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([1, 4], [3], 是, complement_taken_inside_Y) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 64612d6de73a078940d601a21a238b07ce3c891f466f86f793e534199f2ae591 - candidate record SHA-256: 13b3efe1c1a0a838b77de5ed09544b516691bf194fc38157dcb6a1ba15b5e925 - semantic review receipt SHA-256: 8f134403487694af4c70d2e00ec84bab542043ef4b3c54517c04f3c409c0262a - question-first witness SHA-256: ad772845088ed8e99f87f90d4264b05ea97be35775305a02011af5ee35f0f4ce - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261108-r03-subspace-topology-0065.json)