# 第 20790 題：Chebyshev不等式 [返回所在分頁 104](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/104/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r04-chebyshev-inequality-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r04-chebyshev-inequality-0040) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0040-20790 · q-20261014-advance-20261108-r04-chebyshev-inequality-0040 ## 原題與已知條件 完整有限law、finite mean與variance及positive epsilon。操作=cheb-tail-probability；資料={"masses":[[1,20],[2,20],[17,20]],"values":[0,15,18],"epsilon":[3,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限law、finite mean與variance及positive epsilon。操作=cheb-tail-probability；資料={"masses":[[1,20],[2,20],[17,20]],"values":[0,15,18],"epsilon":[3,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-chebyshev-inequality](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-chebyshev-inequality/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=cheb-tail-probability;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[mean, epsilon, tail_probability, certificate] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。標籤不自動是數學證據，No保持來源的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · calculation操作前 Chebyshev complete probability law mass := sum(1/20, 1/10, 17/20) 操作後 Chebyshev complete probability law mass = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 Chebyshev original atom0 weighted SIGNED X := mul(1/20, 0) 操作後 Chebyshev original atom0 weighted SIGNED X = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 Chebyshev original atom1 weighted SIGNED X := mul(1/10, 15) 操作後 Chebyshev original atom1 weighted SIGNED X = 3/2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 Chebyshev original atom2 weighted SIGNED X := mul(17/20, 18) 操作後 Chebyshev original atom2 weighted SIGNED X = 153/10 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 Chebyshev complete SAME-law mean := sum(0, 3/2, 153/10) 操作後 Chebyshev complete SAME-law mean = 84/5 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 Chebyshev original atom0 X minus SAME mean := sub(0, 84/5) 操作後 Chebyshev original atom0 X minus SAME mean = -84/5 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · calculation操作前 Chebyshev original atom0 centered SQUARE := mul(-84/5, -84/5) 操作後 Chebyshev original atom0 centered SQUARE = 7056/25 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 Chebyshev original atom0 weighted centered square := mul(1/20, 7056/25) 操作後 Chebyshev original atom0 weighted centered square = 1764/125 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 Chebyshev original atom1 X minus SAME mean := sub(15, 84/5) 操作後 Chebyshev original atom1 X minus SAME mean = -9/5 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 Chebyshev original atom1 centered SQUARE := mul(-9/5, -9/5) 操作後 Chebyshev original atom1 centered SQUARE = 81/25 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 Chebyshev original atom1 weighted centered square := mul(1/10, 81/25) 操作後 Chebyshev original atom1 weighted centered square = 81/250 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 Chebyshev original atom2 X minus SAME mean := sub(18, 84/5) 操作後 Chebyshev original atom2 X minus SAME mean = 6/5 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 Chebyshev original atom2 centered SQUARE := mul(6/5, 6/5) 操作後 Chebyshev original atom2 centered SQUARE = 36/25 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 Chebyshev original atom2 weighted centered square := mul(17/20, 36/25) 操作後 Chebyshev original atom2 weighted centered square = 153/125 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 Chebyshev full variance E centered square := sum(1764/125, 81/250, 153/125) 操作後 Chebyshev full variance E centered square = 783/50 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL complete normalized masses=[1/20, 1/10, 17/20];ALL aligned SIGNED values X=[0, 15, 18];SAME-law mean=84/5;all deviations=[-84/5, -9/5, 6/5] 操作後 ALL nonnegative squared deviations Y=[7056/25, 81/25, 36/25];variance=E[Y]=783/50;finite moments;variance0 iff X=mean on EVERY POSITIVE-mass atom,not necessarily null atoms 條件：無 此題是完整law的一個隨機變數，X可有正質量負值，不要偷加X≥0或independence。平方Y在每個原子都非負；零變異只迫正質量處偏差0，null-outlier仍保原資料。 步驟識別與依賴規則：cheb_same_law_finite_signed_variable_no_independence_premise · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 Chebyshev original atom0 absolute-event probability mass := mul(1/20, 1) 操作後 Chebyshev original atom0 absolute-event probability mass = 1/20 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ORIGINAL atom=0;SIGNED centered deviation=-84/5;absolute deviation=84/5;positive epsilon=3 操作後 event abs(deviation)>=epsilon=是;EQUALITY INCLUDED;probability contribution=1/20 條件：無 先對同一law的mean中心化再取絕對值，事件用≥而非>；正epsilon本身的嚴格資格不會把尾事件改成嚴格。 步驟識別與依賴規則：cheb_every_absolute_event_atom_including_equality · 依賴：G001, S018 S020 · calculation操作前 Chebyshev original atom1 absolute-event probability mass := mul(1/10, 0) 操作後 Chebyshev original atom1 absolute-event probability mass = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 ORIGINAL atom=1;SIGNED centered deviation=-9/5;absolute deviation=9/5;positive epsilon=3 操作後 event abs(deviation)>=epsilon=否;EQUALITY INCLUDED;probability contribution=0 條件：無 先對同一law的mean中心化再取絕對值，事件用≥而非>；正epsilon本身的嚴格資格不會把尾事件改成嚴格。 步驟識別與依賴規則：cheb_every_absolute_event_atom_including_equality · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Chebyshev original atom2 absolute-event probability mass := mul(17/20, 0) 操作後 Chebyshev original atom2 absolute-event probability mass = 0 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 ORIGINAL atom=2;SIGNED centered deviation=6/5;absolute deviation=6/5;positive epsilon=3 操作後 event abs(deviation)>=epsilon=否;EQUALITY INCLUDED;probability contribution=0 條件：無 先對同一law的mean中心化再取絕對值，事件用≥而非>；正epsilon本身的嚴格資格不會把尾事件改成嚴格。 步驟識別與依賴規則：cheb_every_absolute_event_atom_including_equality · 依賴：G001, S022 S024 · calculation操作前 Chebyshev COMPLETE absolute-deviation tail probability := sum(1/20, 0, 0) 操作後 Chebyshev COMPLETE absolute-deviation tail probability = 1/20 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023 ## 逐步反向核對 - S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev COMPLETE absolute-deviation tail probability，不以小數近似替代。 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom2 absolute-event probability mass，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom1 absolute-event probability mass，不以小數近似替代。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom0 absolute-event probability mass，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev full variance E centered square，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom2 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom2 centered SQUARE，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom2 X minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom1 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom1 centered SQUARE，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom1 X minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom0 weighted centered square，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom0 centered SQUARE，不以小數近似替代。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom0 X minus SAME mean，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev complete SAME-law mean，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom2 weighted SIGNED X，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom1 weighted SIGNED X，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev original atom0 weighted SIGNED X，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Chebyshev complete probability law mass，不以小數近似替代。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (84/5, 3, 1/20, exact_absolute_deviation_tail) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 4857e91177667834cad3ba0498b696d57cddbf2f982ee0910ea423c57d8ea82e - candidate record SHA-256: 12e271d0e0cfc1b14ace846209f1e368f4c2af3a7b6944177e46e25c01127142 - semantic review receipt SHA-256: c6483ed1229af9183fe5c704a2627b1558ad9a31bfbb0d2ee2d5c1a1c299ab4d - question-first witness SHA-256: e81f9a560d630fcb23441146f008c4feca7aceab3ebe4de2cf1997c061375ef7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261108-r04-chebyshev-inequality-0040.json)