# 第 21315 題：整數唯一質因數分解 [返回所在分頁 107](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/107/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-0040) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0041-21315 · q-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-0040 ## 原題與已知條件 完整bounded integer factorization與exact primality。操作=upf-canonical-factorization；資料={"n":282}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整bounded integer factorization與exact primality。操作=upf-canonical-factorization；資料={"n":282}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-unique-prime-factorization](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-unique-prime-factorization/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=upf-canonical-factorization;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[n, prime_multiset, exponents, product, complete_factorization_certificate, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL positive integer absolute magnitude=282>1 操作後 initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted 條件：無 每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。 步驟識別與依賴規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 upf extract divisor2 occurrence0 := div(282, 2) 操作後 upf extract divisor2 occurrence0 = 141 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 next divisor=2;previous remaining=282;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=141;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 upf extract divisor3 occurrence1 := div(141, 3) 操作後 upf extract divisor3 occurrence1 = 47 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 next divisor=3;previous remaining=141;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=1;next remaining=47;remaining modulo3=2;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 next divisor=4;previous remaining=47;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=47;remaining modulo4=3;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 next divisor=5;previous remaining=47;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=47;remaining modulo5=2;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 next divisor=6;previous remaining=47;all smaller divisors exhausted 操作後 extracted multiplicity=0;next remaining=47;remaining modulo6=5;extracted multiset=[2, 3] 條件：無 除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。 步驟識別與依賴規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf canonical complete product factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · calculation操作前 upf canonical complete product factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf canonical complete product factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 upf canonical complete product factor2 := mul(6, 47) 操作後 upf canonical complete product factor2 = 282 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 exhausted trial divisors below7;terminal remaining=47;d*d>remaining;ORIGINAL n=282 操作後 complete increasing prime multiset=[2, 3, 47];full product=282;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor 條件：無 若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。 步驟識別與依賴規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL n=282;complete prime multiset=[2, 3, 47] 操作後 ALL [prime,exponent] rows=[[2, 1], [3, 1], [47, 1]];product=282;no multiplicities discarded 條件：無 逐不同prime保完整重數，不把multiset改成set。後續唯一性比較必須比較每個exponent，不只不同prime種類。 步驟識別與依賴規則：upf_exponents_keep_every_prime_multiplicity · 依賴：G001, S013 ## 逐步反向核對 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor2，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor3 occurrence1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (282, [2, 3, 47], [[2, 1], [3, 1], [47, 1]], 282, 是, complete_trial_division_range) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 729918874a69de50075ec955bc416af18caa002e4c6b5896a323cf30de1b4e25 - candidate record SHA-256: f8ef75ed2dddc903aeaabbaacea45746874d6a65b6c3ed9c5073cfa7c631077d - semantic review receipt SHA-256: 8f134403487694af4c70d2e00ec84bab542043ef4b3c54517c04f3c409c0262a - question-first witness SHA-256: ad772845088ed8e99f87f90d4264b05ea97be35775305a02011af5ee35f0f4ce - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-0040.json)