# 第 21366 題：整數唯一質因數分解 [返回所在分頁 107](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/107/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-0066) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0041-21366 · q-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-0066 ## 原題與已知條件 完整bounded integer factorization與exact primality。操作=upf-uniqueness-audit；資料={"n":318,"factors_left":[2,3,53],"factors_right":[53,2,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整bounded integer factorization與exact primality。操作=upf-uniqueness-audit；資料={"n":318,"factors_left":[2,3,53],"factors_right":[53,2,3]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-unique-prime-factorization](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-unique-prime-factorization/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=upf-uniqueness-audit;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[left_valid, right_valid, sorted_left, sorted_right, divisibility_rows, uniqueness_certificate, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 upf LEFT factor index0:ORIGINAL candidate factor=2;ALL possible trial divisors2..floor(sqrt(v))=[] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[];prime=是 條件：無 合數若大於1必有不超過平方根的因數；完整區間無整除才證prime，2的區間為空仍是prime。乘積相等不能替代此責任。 步驟識別與依賴規則：upf_every_trial_divisor_primality_not_product_only · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 upf LEFT complete product at original factor0 := mul(1, 2) 操作後 upf LEFT complete product at original factor0 = 2 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 upf LEFT factor index1:ORIGINAL candidate factor=3;ALL possible trial divisors2..floor(sqrt(v))=[] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[];prime=是 條件：無 合數若大於1必有不超過平方根的因數；完整區間無整除才證prime，2的區間為空仍是prime。乘積相等不能替代此責任。 步驟識別與依賴規則：upf_every_trial_divisor_primality_not_product_only · 依賴：G001, S003 S005 · calculation操作前 upf LEFT complete product at original factor1 := mul(2, 3) 操作後 upf LEFT complete product at original factor1 = 6 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 upf LEFT factor index2:ORIGINAL candidate factor=53;ALL possible trial divisors2..floor(sqrt(v))=[2, 3, 4, 5, 6, 7] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 3], [6, 5], [7, 4]];prime=是 條件：無 合數若大於1必有不超過平方根的因數；完整區間無整除才證prime，2的區間為空仍是prime。乘積相等不能替代此責任。 步驟識別與依賴規則：upf_every_trial_divisor_primality_not_product_only · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 upf LEFT complete product at original factor2 := mul(6, 53) 操作後 upf LEFT complete product at original factor2 = 318 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 upf LEFT:ORIGINAL factors=[2, 3, 53];ALL primality flags=[是, 是, 是];original n=318 操作後 empty product convention1;actual complete product=318;all_prime=是;valid_prime_product=是 條件：無 保留原factor順序。空列表每項為prime是vacuous True但乘積1不等n>1；合數乘積即使吻合亦無prime factorization證書。SAFE是來源投影限制，不是定理真假判斷。 步驟識別與依賴規則：upf_candidate_prime_and_complete_product_separate · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 upf RIGHT factor index0:ORIGINAL candidate factor=53;ALL possible trial divisors2..floor(sqrt(v))=[2, 3, 4, 5, 6, 7] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 3], [6, 5], [7, 4]];prime=是 條件：無 合數若大於1必有不超過平方根的因數；完整區間無整除才證prime，2的區間為空仍是prime。乘積相等不能替代此責任。 步驟識別與依賴規則：upf_every_trial_divisor_primality_not_product_only · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 upf RIGHT complete product at original factor0 := mul(1, 53) 操作後 upf RIGHT complete product at original factor0 = 53 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 upf RIGHT factor index1:ORIGINAL candidate factor=2;ALL possible trial divisors2..floor(sqrt(v))=[] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[];prime=是 條件：無 合數若大於1必有不超過平方根的因數；完整區間無整除才證prime，2的區間為空仍是prime。乘積相等不能替代此責任。 步驟識別與依賴規則：upf_every_trial_divisor_primality_not_product_only · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 upf RIGHT complete product at original factor1 := mul(53, 2) 操作後 upf RIGHT complete product at original factor1 = 106 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 upf RIGHT factor index2:ORIGINAL candidate factor=3;ALL possible trial divisors2..floor(sqrt(v))=[] 操作後 ALL [divisor,remainder] rows=[];prime=是 條件：無 合數若大於1必有不超過平方根的因數；完整區間無整除才證prime，2的區間為空仍是prime。乘積相等不能替代此責任。 步驟識別與依賴規則：upf_every_trial_divisor_primality_not_product_only · 依賴：G001, S012 S014 · calculation操作前 upf RIGHT complete product at original factor2 := mul(106, 3) 操作後 upf RIGHT complete product at original factor2 = 318 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 upf RIGHT:ORIGINAL factors=[53, 2, 3];ALL primality flags=[是, 是, 是];original n=318 操作後 empty product convention1;actual complete product=318;all_prime=是;valid_prime_product=是 條件：無 保留原factor順序。空列表每項為prime是vacuous True但乘積1不等n>1；合數乘積即使吻合亦無prime factorization證書。SAFE是來源投影限制，不是定理真假判斷。 步驟識別與依賴規則：upf_candidate_prime_and_complete_product_separate · 依賴：G001, S014 S016 · implies操作前 SORTED left occurrence index=0,factor=2;ORIGINAL right factors=[53, 2, 3];full right product=318 操作後 [p,p_divides_product,FIRST original right index,right factor,right factor equals p]=[2, 是, 1, 2, 是];same right index MAY be reused 條件：無 每列按原right輸入順序取首整除因數，不消耗該occurrence。若candidate含合數，這只是診斷列，不對合數p宣稱Euclid lemma；整體證書還需兩側有效與完整重數相等。 步驟識別與依賴規則：upf_local_first_right_witness_not_occurrence_matching · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 SORTED left occurrence index=1,factor=3;ORIGINAL right factors=[53, 2, 3];full right product=318 操作後 [p,p_divides_product,FIRST original right index,right factor,right factor equals p]=[3, 是, 2, 3, 是];same right index MAY be reused 條件：無 每列按原right輸入順序取首整除因數，不消耗該occurrence。若candidate含合數，這只是診斷列，不對合數p宣稱Euclid lemma；整體證書還需兩側有效與完整重數相等。 步驟識別與依賴規則：upf_local_first_right_witness_not_occurrence_matching · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 SORTED left occurrence index=2,factor=53;ORIGINAL right factors=[53, 2, 3];full right product=318 操作後 [p,p_divides_product,FIRST original right index,right factor,right factor equals p]=[53, 是, 0, 53, 是];same right index MAY be reused 條件：無 每列按原right輸入順序取首整除因數，不消耗該occurrence。若candidate含合數，這只是診斷列，不對合數p宣稱Euclid lemma；整體證書還需兩側有效與完整重數相等。 步驟識別與依賴規則：upf_local_first_right_witness_not_occurrence_matching · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ORIGINAL n=318;left valid=是,right valid=是;sorted multisets=[[2, 3, 53], [2, 3, 53]];local witness rows=[[2, 是, 1, 2, 是], [3, 是, 2, 3, 是], [53, 是, 0, 53, 是]] 操作後 joint uniqueness certificate=是;general proof:prime p divides other product;Euclid lemma gives equal prime factor;match ONE occurrence,cancel nonzero p,then induct on remaining factor count 條件：無 Euclid lemma可由gcd(p,a)=1時的Bezout等式乘b證：p|ab就得p|b；反覆用於有限乘積。匹配一個相同prime後以非零整數消去，歸納直到空積1；剩餘prime皆≥2不可乘成1。來源可重用的局部index本身不證全域重數匹配。 步驟識別與依賴規則：upf_general_uniqueness_Euclid_nonzero_cancel_induction · 依賴：G001, S018 ## 逐步反向核對 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf RIGHT complete product at original factor2，不以小數近似替代。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf RIGHT complete product at original factor1，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf RIGHT complete product at original factor0，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf LEFT complete product at original factor2，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf LEFT complete product at original factor1，不以小數近似替代。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf LEFT complete product at original factor0，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (是, 是, [2, 3, 53], [2, 3, 53], [[2, 是, 1, 2, 是], [3, 是, 2, 3, 是], [53, 是, 0, 53, 是]], 是, Euclid_lemma_witness_p_divides_product_implies_p_divides_a_prime_factor) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 8fd9828a92b6480193c4610b6d9376369cec9875c1067aa1b6aaf504a1347159 - candidate record SHA-256: 03c91e25e3220f7ceee5922c3acd7766eb82e4bd790801761ad4c865840d38f8 - semantic review receipt SHA-256: 8f134403487694af4c70d2e00ec84bab542043ef4b3c54517c04f3c409c0262a - question-first witness SHA-256: ad772845088ed8e99f87f90d4264b05ea97be35775305a02011af5ee35f0f4ce - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261108-r06-unique-prime-factorization-0066.json)