# 第 20827 題：有限有向圖 [返回所在分頁 105](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/105/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261108-r07-finite-directed-graph-foundations/#q-20261014-advance-20261108-r07-finite-directed-graph-0027) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0040-20827 · q-20261014-advance-20261108-r07-finite-directed-graph-0027 ## 原題與已知條件 完整有限ordered-pair edge set與loop-free simple digraph convention。操作=digraph-in-out-degree；資料={"n":5,"edges":[[0,1],[0,2],[1,2],[2,3],[3,4],[4,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整有限ordered-pair edge set與loop-free simple digraph convention。操作=digraph-in-out-degree；資料={"n":5,"edges":[[0,1],[0,2],[1,2],[2,3],[3,4],[4,0]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-directed-graph](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-directed-graph/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=digraph-in-out-degree;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[out_degrees, in_degrees, total_out, total_in, edge_count, equal_counts] 條件：無 原題快照保留歷史介面標記；本頁直接列來源欄位順序，不需JavaScript或外部表。標籤不自動是數學證據，No保持來源的聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL complete directed carrier Fin(5);ORIGINAL lexicographically canonical ORDERED arcs=[[0, 1], [0, 2], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 0]] 操作後 all endpoints in range and same-direction arcs unique;actual loops=[];main loop-free directed-set convention qualified 條件：無 只核整張arc列表的from/to排序，不把各arc端點排序。(u,v)與(v,u)不同且可同時存在；main禁止loop，boundary暫收loop用來比對慣例，不作一般digraph不存在的判決。 步驟識別與依賴規則：digraph_ordered_pairs_not_undirected_endpoint_sorting · 依賴：G001, S001 S003 · calculation操作前 digraph vertex0 exact outgoing count := sum(1, 1) 操作後 digraph vertex0 exact outgoing count = 2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002 S004 · calculation操作前 digraph vertex0 exact incoming count := sum(1) 操作後 digraph vertex0 exact incoming count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL vertex=0;ALL outgoing original-arc indices=[0, 1];ALL incoming indices=[5] 操作後 outdegree=2;indegree=1;a loop at this vertex contributes ONCE to EACH separate count 條件：無 每條arc只有一個source、一個target；loop也各占一次，不套undirected loop degree規則或把兩種degree合併。孤立點兩欄都保0。 步驟識別與依賴規則：digraph_every_vertex_separate_in_out_incidence · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 digraph vertex1 exact outgoing count := sum(1) 操作後 digraph vertex1 exact outgoing count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 digraph vertex1 exact incoming count := sum(1) 操作後 digraph vertex1 exact incoming count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL vertex=1;ALL outgoing original-arc indices=[2];ALL incoming indices=[0] 操作後 outdegree=1;indegree=1;a loop at this vertex contributes ONCE to EACH separate count 條件：無 每條arc只有一個source、一個target；loop也各占一次，不套undirected loop degree規則或把兩種degree合併。孤立點兩欄都保0。 步驟識別與依賴規則：digraph_every_vertex_separate_in_out_incidence · 依賴：G001, S007 S009 · calculation操作前 digraph vertex2 exact outgoing count := sum(1) 操作後 digraph vertex2 exact outgoing count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008 S010 · calculation操作前 digraph vertex2 exact incoming count := sum(1, 1) 操作後 digraph vertex2 exact incoming count = 2 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ORIGINAL vertex=2;ALL outgoing original-arc indices=[3];ALL incoming indices=[1, 2] 操作後 outdegree=1;indegree=2;a loop at this vertex contributes ONCE to EACH separate count 條件：無 每條arc只有一個source、一個target；loop也各占一次，不套undirected loop degree規則或把兩種degree合併。孤立點兩欄都保0。 步驟識別與依賴規則：digraph_every_vertex_separate_in_out_incidence · 依賴：G001, S010 S012 · calculation操作前 digraph vertex3 exact outgoing count := sum(1) 操作後 digraph vertex3 exact outgoing count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011 S013 · calculation操作前 digraph vertex3 exact incoming count := sum(1) 操作後 digraph vertex3 exact incoming count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL vertex=3;ALL outgoing original-arc indices=[4];ALL incoming indices=[3] 操作後 outdegree=1;indegree=1;a loop at this vertex contributes ONCE to EACH separate count 條件：無 每條arc只有一個source、一個target；loop也各占一次，不套undirected loop degree規則或把兩種degree合併。孤立點兩欄都保0。 步驟識別與依賴規則：digraph_every_vertex_separate_in_out_incidence · 依賴：G001, S013 S015 · calculation操作前 digraph vertex4 exact outgoing count := sum(1) 操作後 digraph vertex4 exact outgoing count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 digraph vertex4 exact incoming count := sum(1) 操作後 digraph vertex4 exact incoming count = 1 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · implies操作前 ORIGINAL vertex=4;ALL outgoing original-arc indices=[5];ALL incoming indices=[4] 操作後 outdegree=1;indegree=1;a loop at this vertex contributes ONCE to EACH separate count 條件：無 每條arc只有一個source、一個target；loop也各占一次，不套undirected loop degree規則或把兩種degree合併。孤立點兩欄都保0。 步驟識別與依賴規則：digraph_every_vertex_separate_in_out_incidence · 依賴：G001, S016 S018 · calculation操作前 digraph complete outgoing-degree sum := sum(2, 1, 1, 1, 1) 操作後 digraph complete outgoing-degree sum = 6 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017 S019 · calculation操作前 digraph complete incoming-degree sum := sum(1, 1, 2, 1, 1) 操作後 digraph complete incoming-degree sum = 6 條件：無 依原始角色及已核中間量精確代值，保留原索引、集合位置、方向、正負號與適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ALL vertex-order outdegrees=[2, 1, 1, 1, 1];indegrees=[1, 1, 2, 1, 1];complete directed arc count=6 操作後 each arc counted once at its source and once at its target;SUM(out)=6=|E| and SUM(in)=6=|E|;the SEPARATE counting rule is |E|,not an imported undirected2|E| rule (numbers may coincide when E=0) 條件：無 對source計數是arc到source的完整分組，target亦然，所以兩個獨立總和各等|E|。沒有推出無向連通、DAG、強連通或Hamilton性質。 步驟識別與依賴規則：digraph_two_separate_degree_sum_certificates · 依賴：G001, S019 ## 逐步反向核對 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph complete incoming-degree sum，不以小數近似替代。 - S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph complete outgoing-degree sum，不以小數近似替代。 - S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex4 exact incoming count，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex4 exact outgoing count，不以小數近似替代。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex3 exact incoming count，不以小數近似替代。 - S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex3 exact outgoing count，不以小數近似替代。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex2 exact incoming count，不以小數近似替代。 - S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex2 exact outgoing count，不以小數近似替代。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex1 exact incoming count，不以小數近似替代。 - S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex1 exact outgoing count，不以小數近似替代。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex0 exact incoming count，不以小數近似替代。 - S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 digraph vertex0 exact outgoing count，不以小數近似替代。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 ([2, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 2, 1, 1], 6, 6, 6, 是) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: ce0f38fa1bd683cf11d25159b41bd0663b9dbd9ed14836d2afd3b9ffdbf02f8c - candidate record SHA-256: e35a0b3c43173df4f7516d1492aca9170d4db1a56962c1c086640b3689ab102b - semantic review receipt SHA-256: c6483ed1229af9183fe5c704a2627b1558ad9a31bfbb0d2ee2d5c1a1c299ab4d - question-first witness SHA-256: e81f9a560d630fcb23441146f008c4feca7aceab3ebe4de2cf1997c061375ef7 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261108-r07-finite-directed-graph-0027.json)