# 第 21871 題：有限群作用的穩定子群 [返回所在分頁 110](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/110/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r01-finite-group-stabilizer-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r01-finite-group-stabilizer-0021) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0042-21871 · q-20261014-advance-20261109-r01-finite-group-stabilizer-0021 ## 原題與已知條件 完整已認證有限群作用與指定point。操作=stabilizer-stabilizer-of-point；資料={"group_table":[[0,1],[1,0]],"identity":0,"point_count":6,"action_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,0,2,3,4,5]],"point":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — 完整已認證有限群作用與指定point。操作=stabilizer-stabilizer-of-point；資料={"group_table":[[0,1],[1,0]],"identity":0,"point_count":6,"action_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,0,2,3,4,5]],"point":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-finite-group-stabilizer](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-finite-group-stabilizer/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=stabilizer-stabilizer-of-point;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[point, stabilizer, stabilizer_order, full_enumeration_certificate, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留，本頁直接列來源有序欄位，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No保留其原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL complete group-label carrier Fin(2);declared identity label=0;Cayley table row g,column h gives g*h=[[0, 1], [1, 0]] 操作後 ORIGINAL complete point carrier Fin(6);TOTAL action table row g,column x gives g*x=[[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 0, 2, 3, 4, 5]];all entries in range,so structural closure/totality checked;GROUP AXIOMS not assumed from shape 條件：無 兩張表的column角色不同，一張h是群標籤，一張x是作用點。in-range完整表只保closed／total，群候選可不滿足公理，不能因叫group_table就先填True。 步驟識別與依賴規則：groupaction_two_table_roles_complete_candidate_not_group_assumption · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ORIGINAL closed Cayley table=[[0, 1], [1, 0]];ACTUAL declared group identity=0 操作後 ALL [g,e*g,g*e,both_equal_g] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]];two-sided group identity=是 條件：無 群表的e*g與g*e兩側都須等g；這裡不把作用點的e*x=x當群identity證書。 步驟識別與依賴規則：groupaction_group_identity_both_sides_not_action_identity · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 0];check ALL k in Fin(2) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 1];check ALL k in Fin(2) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S004 S006 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 0];check ALL k in Fin(2) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S005 S007 · implies操作前 ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 1];check ALL k in Fin(2) 操作後 ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是]] 條件：無 逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。 步驟識別與依賴規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL group element g=0;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 否]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=0;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S007 S009 · implies操作前 ORIGINAL group element g=1;DECLARED identity=0;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 1, 1, 否], [1, 0, 0, 是]] 操作後 first actual two-sided inverse witness=1;exists=是 條件：無 每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。 步驟識別與依賴規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S008 S010 · implies操作前 structurally closed COMPLETE group candidate;two-sided identity=是;ALL-triple associativity=是;ALL-element inverses=是 操作後 group_valid=是 is the CONJUNCTION;False remains a reported candidate result,not a silent repair 條件：無 完整三項責任合取才是群資格。即使作用表看似排列，壞group table也不會因此變群；不自行換identity或修表。 步驟識別與依賴規則：groupaction_group_axiom_conjunction_candidate_may_fail · 依賴：G001, S009 S011 · implies操作前 ACTUAL declared identity label=0;ORIGINAL identity action row=[0, 1, 2, 3, 4, 5];complete point carrier Fin(6) 操作後 ALL ordered [point,identity_image,equality] rows=[[0, 0, 是], [1, 1, 是], [2, 2, 是], [3, 3, 是], [4, 4, 是], [5, 5, 是]];identity-action axiom=是 條件：無 逐作用點驗e*x=x，e是來源宣告的真標籤，不預設0；此axiom與群乘法表的雙邊identity責任分開。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_point_identity_action_not_group_identity · 依賴：G001, S010 S012 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 0];actual group product=0;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S011 S013 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[0, 1];actual group product=1;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S012 S014 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 0];actual group product=1;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S013 S015 · implies操作前 ORIGINAL ordered group pair(g,h)=[1, 1];actual group product=0;action table roles unchanged 操作後 ALL ordered [point,(g*h)*point,g*(h*point),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];earliest failure retained,not overwritten 條件：無 左邊先查group product再作用，右邊先h作用再g作用，不交換g,h。逐全部點及全部有序group pair核，失敗witness保g,h,x的首LEX順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_all_ordered_compatibility_triples_not_samples · 依賴：G001, S014 S016 · calculation操作前 group action ordered group-pair count := mul(2, 2) 操作後 group action ordered group-pair count = 4 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015 S017 · calculation操作前 group action complete triple-domain count := mul(4, 6) 操作後 group action complete triple-domain count = 24 條件：無 依原始角色與已核中間量精確代值，保留索引、正負號、分母與證明適用條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016 S018 · implies操作前 COMPLETE triple domain order^2*point_count=24;this derivation ACTUALLY checked all24 triples 操作後 compatibility=是;FIRST source-order failure[g,h,x,left,right]=null;null means NO failure anywhere 條件：無 triple_count是完整量詞域大小，不是把原型在第一錯誤處停止的迭代數冒充測量。本推導確實列了每對g,h的全部點，所以null給全域通過，首失敗則保確切資料與順序。 步驟識別與依賴規則：groupaction_full_domain_count_first_failure_not_early_stop_measurement · 依賴：G001, S017 S019 · implies操作前 ORIGINAL group-row label=0;ORIGINAL point-indexed action row=[0, 1, 2, 3, 4, 5] 操作後 sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equals full point carrier=是;original row NOT reordered 條件：無 排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S018 S020 · implies操作前 ORIGINAL group-row label=1;ORIGINAL point-indexed action row=[1, 0, 2, 3, 4, 5] 操作後 sorted image MULTISET=[0, 1, 2, 3, 4, 5];equals full point carrier=是;original row NOT reordered 條件：無 排序只核image多重集是否完整無重複，原row按點索引的資料不改。單獨每列是permutation仍不足完整action，須原group及兩個action axiom。 步驟識別與依賴規則：groupaction_every_row_permutation_actual_images_not_validity_converse · 依賴：G001, S019 S021 · implies操作前 CURRENT original group/action:group=是,identity_action=是,compatibility=是,permutations=是;actual identity=0 操作後 qualified full action;actual inverse list=[0, 1];permutation rows alone would NOT suffice 條件：無 先驗真群與完整作用公理，不因每列像排列就直接算stabilizer。identity取原標籤，不預設0；舊純函式只接本題表與trace。 步驟識別與依賴規則：stabilizer_qualified_actual_group_action_before_fixing · 依賴：G001, S020 S022 · calculation操作前 Stabilizer point2 complete fixing count := sum(1, 1) 操作後 Stabilizer point2 complete fixing count = 2 條件：無 保留原題角色、順序與條件，逐項精確代值，不作浮點近似。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021 S023 · implies操作前 ORIGINAL point=2;ALL [group_element,image,fixes] rows=[[0, 2, 是], [1, 2, 是]] 操作後 full stabilizer in ORIGINAL group order=[0, 1];stabilizer order=2 條件：無 stabilizer是固定此點的群元素集合，不是點的orbit，也不只是一個fixed-element witness。即使指定g不固定，identity仍屬完整stabilizer。 步驟識別與依賴規則：stabilizer_ALL_group_elements_fixing_not_orbit · 依賴：G001, S022 ## 逐步反向核對 - S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Stabilizer point2 complete fixing count，不以小數近似替代。 - S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action complete triple-domain count，不以小數近似替代。 - S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 group action ordered group-pair count，不以小數近似替代。 - S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 - S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。 ## 結論 (2, [0, 1], 2, 是, all_group_elements_checked) 依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。 ## 本題覆核與來源綁定 覆核日期：2026-10-26 原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。 來源雜湊與覆核憑證 - input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db - original question SHA-256: 1b8f2152828dbe688f18511e2f7161a326431934ac54112ae4b80a5daf44dc10 - candidate record SHA-256: 2fe6cbd6a3493caf51e66ad4f23ff41c7986ee3700e797002d820ad803484b63 - semantic review receipt SHA-256: dd44555041dfbb6fe9936aa00b9a5f8c5982c2784ef61dd0cbd5d1a303a49c1a - question-first witness SHA-256: 9a6011263f6ac53b9a1fd57addf2f3e2f6088b54802c539f332d689480dc2d17 - Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED [同源完整 JSON](https://ocme.evemisslab.com/data/question-derivations/questions/q-20261014-advance-20261109-r01-finite-group-stabilizer-0021.json)