# 第 21485 題：實數列Bolzano－Weierstrass定理 [返回所在分頁 108](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/page/108/) [← 逐題詳解目錄](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/questions/) · [原題批次](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/practice/batch-20261014-advance-20261109-r02-bolzano-weierstrass-theorem-real-foundations/#q-20261014-advance-20261109-r02-bolzano-weierstrass-theorem-real-0035) 本頁是已完成第二對話 AI 數理與中英語義覆核的教學詳解，只支持本題明示的模型與前提。沒有人工審查或新 Lean 證明，也不提升原題或 MKO 的 Canonical 真值狀態。 R0041-21485 · q-20261014-advance-20261109-r02-bolzano-weierstrass-theorem-real-0035 ## 原題與已知條件 whole-sequence bounded certificate與symbolic strictly increasing infinite index。操作=bw-periodic-subsequence；資料={"period_values":[10,-11,[12,2]],"residue":0,"j":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 - G001 — whole-sequence bounded certificate與symbolic strictly increasing infinite index。操作=bw-periodic-subsequence；資料={"period_values":[10,-11,[12,2]],"residue":0,"j":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。 ## 定義與適用範圍 沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。 - [mko-bolzano-weierstrass-theorem-real](https://ocme.evemisslab.com/zh-Hant/mko/mko-bolzano-weierstrass-theorem-real/) ## 逐步推導 S001 · implies操作前 source operation=bw-periodic-subsequence;original snapshot and mathematics retained 操作後 explicit ordered source output fields=[residue, j, k_j, value, constant_subsequence_certificate, certificate] 條件：無 原題歷史介面標記保留；此處直接列有序輸出欄位，不依賴JavaScript。欄位或tag不是額外數學證據，固定No保留原聲稱範圍。 步驟識別與依賴規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001 S002 · implies操作前 ORIGINAL period index=0;value=10;absolute value=10 操作後 prefix absolute maximum after this original entry=10 條件：無 逐完整週期取絕對值最大，不只最大原值；負極值可能決定界。週期內重複值仍保留原索引。 步驟識別與依賴規則：bw_every_period_entry_absolute_bound · 依賴：G001, S001 S003 · implies操作前 ORIGINAL period index=1;value=-11;absolute value=11 操作後 prefix absolute maximum after this original entry=11 條件：無 逐完整週期取絕對值最大，不只最大原值；負極值可能決定界。週期內重複值仍保留原索引。 步驟識別與依賴規則：bw_every_period_entry_absolute_bound · 依賴：G001, S002 S004 · implies操作前 ORIGINAL period index=2;value=6;absolute value=6 操作後 prefix absolute maximum after this original entry=11 條件：無 逐完整週期取絕對值最大，不只最大原值；負極值可能決定界。週期內重複值仍保留原索引。 步驟識別與依賴規則：bw_every_period_entry_absolute_bound · 依賴：G001, S003 S005 · implies操作前 ORIGINAL NONEMPTY full period=[10, -11, 6];period length=3 操作後 for EVERY n>=0,unique n=3q+r with0<=r<3 gives a_n=period_values[r];therefore |a_n|<=11 條件：無 全稱有界來自明示永遠重複的law與除法算法，不是由幾個觀察值推定未來。這證指定模型，沒有把所有有界實數列的Bolzano-Weierstrass定理化成有限取樣。 步驟識別與依賴規則：bw_periodic_law_for_all_n_not_finite_observation · 依賴：G001, S004 S006 · calculation操作前 bw period times ORIGINAL j := mul(3, 10) 操作後 bw period times ORIGINAL j = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005 S007 · calculation操作前 bw ORIGINAL residue subsequence evaluated index := sum(0, 30) 操作後 bw ORIGINAL residue subsequence evaluated index = 30 條件：無 依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。 步驟識別與依賴規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006 S008 · implies操作前 ORIGINAL residue=0,period=3;k(j)=0+3j for EVERY j>=0;displayed j=10,k_j=30 操作後 for ALL j,k(j+1)-k(j)=3>0;remainder always0;a_k(j)=10;for EVERY epsilon>0 error0